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1S Mercredi 6 Mai 2015 DS COMMUN 2h Calculatrice autorisée Le barème est indica

1S Mercredi 6 Mai 2015 DS COMMUN 2h Calculatrice autorisée Le barème est indicatif. L’annexe p4 est à rendre avec la copie. La présentation et la rédaction seront prises en compte dans la notation. exercice no 1 : ( 5 points ) Au libre-service d’un restaurant d’entreprise, un repas est composé obligatoirement d’une entrée, d’un plat et d’un dessert. Pour chaque repas, un employé choisit au hasard : — une entrée parmi trois : Crudités (C), Salade (S) ou Quiche (Q). — un plat parmi deux : Poisson (P) ou Viande (V). — un dessert parmi deux : Glace (G) ou Fruits (F). 1. Sur l’annexe (à rendre avec la copie), compléter l’arbre des repas. 2. En déduire le nombre de repas que peut composer un employé. 3. On appelle : A l’évènement : « le repas composé contient le plat de poisson », B l’évènement : « le repas composé contient de la quiche en entrée ». On note p(A) la probabilité de l’évènement A. Calculer p(A), p(B), p(A ∩B) et en déduire p(A ∪B). 4. Le tableau suivant donne en kcal le bilan calorique des mets proposés : Entrées Crudités (C) : 300 Salade composée (S) : 300 Quiche (Q) : 400 Plats Viande (V) : 900 Poisson (P) : 600 Desserts Glace (G) : 300 Fruits (F) : 100 Compléter, sur l’annexe, le bilan calorique de chaque repas. 5. On appelle R la variable aléatoire qui à chaque repas associe son bilan calorique. (a) Donner l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire R. (b) Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire R. (c) Déterminer le bilan calorique moyen d’un repas. Année 2014-2015 page 1 Lycée Jean Paul-Sartre exercice no 2 : ( VRAI-FAUX : 5 points ) Pour chacune des sept propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justiﬁant la réponse. Une réponse non justiﬁée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée. 1. Proposition 1 : Soit f la fonction déﬁnie par f(x) = x2 −2x x + 2 . Alors f ′(x) = 2x −2. 2. Proposition 2 : L’équation 2 cos(x) + 1 = 0 admet dans R des solutions de la forme π 3 + 2kπ avec k ∈Z. 3. Dans un repère (O, − → ı , − → ), on considère les points : A(−1; 5) B(−3; 8) C(4; −2) D(8; −8) E(0; 7 2). (a) Proposition 3 : les droites (AB) et (CD) sont parallèles. (b) Proposition 4 : le point E appartient à la droite (CD). (c) Proposition 5 : Une équation de la droite (AD) est : 9x −13y + 74 = 0. 4. Proposition 6 : Si A, B, C, D sont quatre points tels que − → AB = −2− − → DC + 2− − → BC alors le point B est le milieu de [AD]. 5. Proposition 7 : Pour tout réel x, sin(π 2 −x) + cos(π + x) + sin(π 2 + x) = cos(x). exercice no 3 : ( 4 points ) À l’automne 2014, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d’un terrain de 1 500 m2 entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et rem- placée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m2 et la remplace par du gazon. Pour tout nombre entier naturel n, on note un la surface en m2 de terrain engazonné au bout de n années, c’est-à-dire à l’automne 2014 + n. On a donc u0 = 1 500. 1. Calculer u1. 2. Justiﬁer que, pour tout nombre entier naturel n, un+1 = 0, 8un + 50. 3. On considère la suite (vn) déﬁnie pour tout nombre entier naturel n par : vn = un −250. (a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. (b) Exprimer vn en fonction de n. (c) En déduire l’expression de un en fonction de n. (d) Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ? 4. Compléter l’algorithme fourni en annexe pour qu’il aﬃche le nombre d’années néces- saires pour que la surface engazonnée soit inférieure ou égale à 500 m2. Année 2014-2015 page 2 Lycée Jean Paul-Sartre exercice no 4 : ( 6 points ) Partie A : Recherche d’une fonction La parabole P ci-contre est la représentation graphique de la fonction polynôme g déﬁnie sur l’ensemble R des nombres réels par : g(x) = ax2 + bx + c où a, b et c désignent trois nombres réels que l’on se propose de déterminer dans cette partie. Les points A(0 ; 3) et B(1 ; 3) appartiennent à la parabole P. La droite (T) est la tangente à P au point d’abscisse 1. 1 2 3 4 −1 −2 1 2 3 4 5 −1 −2 A b B b b T 1. Calculer g′(x) en fonction de a et de b. 2. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de g(0), g(1) et g′(1). 3. Justiﬁer que c = 3 et que les questions 1. et 2. conduisent au système (S) : a + b = 0 2a + b = −4 4. Résoudre le système (S). En déduire une écriture de la fonction g. Partie B : Etude d’une fonction f On suppose que g(x) = −4x2 + 4x + 3. Soit f la fonction déﬁnie sur R par f(x) = −x4 + 8 3x3 −1 2x2 −3x + 2. 1. Calculer f ′(x). 2. Démontrer que pour tout nombre réel x, on a : f ′(x) = (x −1) × g(x). 3. Déterminer le signe de f ′(x) puis dresser le tableau de variation de la fonction f. (On pourra donner une valeur approchée des extremums) 4. En déduire que pour tout nombre réel x : −x4 + 8 3x3 −1 2x2 −3x −1 ⩽0 Année 2014-2015 page 3 Lycée Jean Paul-Sartre ANNEXE (à rendre avec la copie) Exercice 1 : arbre des repas C V G 1 500 kcal F P S Q Exercice 3 : Algorithme Initialisation u prend la valeur 1 500 n prend la valeur 0 Traitement Tant que . . . . . . . . . faire u prend la valeur . . . . . . . . . n prend la valeur . . . . . . . . . Fin Tant que Sortie Aﬃcher n Année 2014-2015 page 4 Lycée Jean Paul-Sartre uploads/Geographie/ devoir-commun-math-2-lycee-jp-sartre.pdf