? Lycée pilote Médenine ?  Prof : Habib Haj Salem  ∼Devoir de contrôle n◦2 ∽

? Lycée pilote Médenine ?  Prof : Habib Haj Salem  ∼Devoir de contrôle n◦2 ∽ 4ème Maths 1 Durée : 2h 9 Décembre 2017 P `o˘u˚rffl˜f´a˚i˚r`e `qfi˚u`e¨l´qfi˚u`e `c‚h`o¸ sfi`e ¯sfi¯p`é´cˇi`a˜l´e, ˚tˇuffl`a¯s ˜bfle˙ sfi`o˘i‹nffl`d`e `cˇr`o˘i˚r`e `qfi˚u`e `c´eˇtˇt´e `c‚h`o¸ sfi`e `e˙ sfi˚t ¯sfi¯p`é´cˇi`a˜l´e. Exercice 1 : (6 points) Le plan est orienté dans le sens direct. Soit ABC un triangle isocèle et rectangle tel que \ (− − − → BC , − − − → BA ) ≡π 2 [2π]. Soit O, I et J les milieux respectifs des segments [AC], [OB] et [BC] et soit D le symétrique de O par rapport à (BC) et N le point d’in- tersection des droites (AD) et (BC). b A b B b C b O b J b I b D b N 1. Montrer que I est le milieu de [AD]. 2. a) Montrer qu’il existe un seul déplacement f tel que : f (A) = C et f (O) = D. b) Montrer que f est la rotation de centre B et d’angle −π 2 . c) Soit I′ = f (I). Montrer que I′ est le milieu de [BD]. d) Déduire que les points O, N et I′ sont alignés. 3. Soit g = f ◦R où R est la rotation de centre O et d’angle −π 2 . a) Déterminer g(O). b) Caractériser g. 4. Soit h = S ◦f −1où S est la symétrie orthogonale d’axe (AO) . a) Déterminer h(D) et h(C). b) Montrer que h est une symétrie glissante et préciser ces éléments caractéristiques. c) Déterminer l’ensemble des points M tel que h(M) = f −1(M). Exercice 2 :(4 points) Soit la fonction f définie sur [−1,+∞[ par f (x) = 1 −x √ 1 + x2. 1. a) Dresser le tableau de variation de f . b) Montrer que f réalise une bijection de [−1,+∞[ sur un intervalle J que l’on précisera. c) Tracer la courbe Cf de f et la courbe C′ de f −1 dans un repère orthonormé ( O, − → i , − → j ) . d) Expliciter f −1(x) pour x ∈J. 2. Pour tout entier naturel n non nul, on associe la fonction φn définie sur ]0,1[ par : φn(x) = f (x) −xn a) Montrer que l’équation φn(x) = 0 admet dans [0,1] une unique solution αn. b) Montrer que φn+1(αn) > 0 et que la suite (αn) est croissante. c) En déduire que la suite (αn) est convergente et calculer sa limite. 2017 / 2018 Page 1/3 Exercice 3 :( 7 points ) Dans le graphique ci dessous , on a tracé dans un repère orthonormé ( O, − → i , − → j ) les courbes C et Γ qui représentent : une fonction f définie et deux fois dérivable sur [0,+∞[ ainsi qu’une de ses primitive F. On admet que C est au dessus de son asymptote la droite d’équation y = −1 et que A ( 1, π 2 −1 ) ∈Γ 1. A l’aide d’une lecture graphique a) Montrer que C est la courbe de f. b) Calculer (F ◦f )′(1). c) Montrer que l’équation f ”(x) = −1 admet au moins une solution dans [0,1]. d) Justifier que f admet une fonction réciproque f −1 définie sur un intervalle J que l’on déterminera. 2. On admet que pour tout x ≥0 ,f (x) = 1 −x2 1 + x2 Montrer que pour tout x ∈]−1,1] , f −1(x) = √ 1 −x2 1 + x 3. Soit g la fonction définie sur [0,π[ par g(x) = f −1(cosx) a) Vérifier que pour tout x ∈[0,π[ ,g(x) = sinx 1 + cosx. b) Etudier les variations de g . 4. a) Montrer que g admet une fonction réciproque g−1 définie sur R+ b) Montrer que g−1 est dérivable sur R+ et que pour tout x ≥0 ,(g−1)′(x) = 2 x2 + 1 5. Montrer que pour tout x > 0 , F(x) = π −x −g−1 (1 x ) et déduire que Γ admet une asymptote oblique D que l’on déterminera. 6. Montrer que l’équation F (x 2 ) + x 2 = 1 admet une solution unique α dans [0,2] 7. On considère la suite (Un) définie sur N par :        U0 = 0 Un+1 = 1 −F (Un 2 ) Montrer que pour tout n ∈N ,Un ∈[0,2] et que : |4Un+1 −2α| ≤|2Un −α| et déduire que Un converge vers α 2 . −1 −2 1 2 3 1 2 3 4 5 −1 −2 ⃗ i ⃗ j π Γ C f g h b 2017 / 2018 Page 2/3 Exercice 4 :( 3 points ) La courbe ci dessous est celle d’une fonction définie et dérivable sur ]0,+∞[. La droite T est tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1. ⃗ i ⃗ j b O f b b T b 1. Déterminer graphiquement lim x→+∞ f (x) x , lim x→1 f (x) −1 x et lim x→π 2 f (sinx) x −π 2 2. On donne f ′(x) = 1 x pour tout x ∈]0,+∞[ et la fonction g définie sur R par g(x) = f (1 + x2) Montrer que g est dérivable sur R et dresser le tableau de variation de g 3. Soit la fonction h définie sur ]0,+∞[ par h(x) = f (1 + x) −x x2 a) Soit la fonction φ définie sur]−1,+∞[ par φ(t) = t2h(x) + t −f (1 + t) avec x > 0. Calculer φ(0) et φ(x). En déduire qu’il existe c ∈]0,x[ tel que h(x) = −1 2(c + 1) b) Montrer que h est prolongeable par continuité en 0 . B`o“nffl˚tˇr`a‹vˆa˚i˜l. 2017 / 2018 Page 3/3 uploads/Geographie/ devoir-de-controle-2-4-maths-pdf.pdf

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