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Pr. EL ATTAR Abderrahim Page 1 sur 2 Devoir de gestion des risques assurantiels

Pr. EL ATTAR Abderrahim Page 1 sur 2 Devoir de gestion des risques assurantiels Master FIGR EXERCICE 1 : (14 points) Un assureur se propose un contrat couvrant de risque X , correspondent aux prime P . La charge des sinistres X suit une loi exponentielle de paramètre 0,25 :   ~ 0,25 X Exp . Le risque est partagé de la manière suivante : A R X X X   , où les portions A X retenues par la cédante et R X sont transférées au réassureur. Supposons que la cédante utilise un contrat des réassurances de type «quote-part» de paramètre 0,4  avec un mode de tarification  basé sur le principe de l’espérance mathématique, de chargement de sécurité 1,5 r  . 1. Calculer la prime nette lorsque le chargement de sécurité du cédant est égale 1, 1 . 2. Supposons que l’assureur a utilisé 10% de prime pure comme frais généraux (frais de gestions, commission, impôts, etc). Calculer la prime commerciale. 3. Calculer la prime chargée de la réassurance   R X  . 4. Calculer l’espérance mathématique de la part de l’assureur   A E X . 5. Calculer l’espérance mathématique du bénéfice technique  E B . 6. Calculer la variance du bénéfice technique  Var B . 7. Calculer le coefficient de sécurité CS lorsque le chargement de sécurité du cédant est égale 1, et le capital initial est 3 k  . 8. Donner une approximation normale de la probabilité de ruine. 9. Soit   2,4 le coefficient d’ajustement de Lundberg. Déterminer une valeur approchée de la probabilité de ruine en utilisant l’approximation de Cramer-Lundberg. 10. Quelle est la meilleure approximation de la probabilité de ruine, normale ou Cramer-Lundberg ? 11. Soit T défini comme la somme de deux composantes : la charge de l’assureur et la prime chargée de réassurance. Calculer l’espérance mathématique du coût total  E T . a) Calculer  VaR T  . Avec 0,05  . b) Calculer la Conditional Tail Expectation (CTE) du T,  CTE T  . Avec 0,05  . 12. Sous les hypothèse de cet exercice quel est la meilleure mesure de risque ,  . VaR ou  . CTE ?. Pr. EL ATTAR Abderrahim Page 2 sur 2 EXERCICE 2 : (2 points) Considérons un portefeuille constitué de trois risques (i.i.d) générant des charges annuelles de sinistres de montant 1 2 , X X et 3 X , dont les lois de probabilité sont données dans le tableau suivant. Valeurs de   Pr i X k  i 0 k  1 k  2 k  1 0,4 0,3 0,3 2 0,6 0,1 0,3 3 0,4 0,4 0,2 Soit S la somme collective des risques 1 2 , X X et 3 X . Calculer l’espérance et la variance de S . EXERCICE 3 : (4 points) Une compagnie d’assurance est caractérisée par N contrats couvrant des risques 1, , N X X  (i.i.d , et indépendantes de N ), tels que : les charges    1,.., i i N X  suivent une loi de Pareto de paramètres 3 a  , 0 1 x ,   3,1 i X Pareto Le nombre de sinistres N suit la loi de Poisson de paramètre 8 . Soit 1 N i i S X   la charge totale des sinistres (modèle collectif). 1. Calculer l’espérance mathématique  E S et la variance  Var S de S en utilisant la loi composée. 2. La Conditional Tail Variance correspond au risque X avec un niveau de probabilité   0,1  notée   CTV X  est définie par :   ( ) CTV X Var X X VaR X         Vérifier que CTV n’est pas une mesure de risque cohérente. 3. Soit X une variable aléatoire désigne un risque assuranciel d’espérance mathématique   E X et de fonction de survie X S . Alors la Conditional Tail Variance est calculée comme suit :                 2 * ( ) 2 . CTV X VaR X E X E X VaR X X VaR X E X E X               avec * X est une nouvelle variable aléatoire admet la fonction de densité suivante :           * , X X S x f x x VaR X E VaR X X       Calculer ( ) CTV X  tel que   3,1 X Pareto , et 0,05  . -------------------------- Bonne chance ! uploads/Geographie/ devoir-gestion-des-risques-assurantiels-figr.pdf