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Chapitre 2 : ESTIMATION A. Introduction B. Estimation ponctuelle 1. Moyenne 2.

Chapitre 2 : ESTIMATION A. Introduction B. Estimation ponctuelle 1. Moyenne 2. Proportion 3. Variance. Ecart-type C. Estimation par intervalle de confiance 1. De la moyenne 2. De la proportion 3. Exemples Chapitre 3 : TESTS STATISTIQUES A. Principe des tests B. Test de comparaison à une valeur standard 1. Position de problème 2. Tests relatifs à une moyenne 3. Tests relatifs à un fréquence ou un pourcentage 4. Remarque C. Test de comparaison de 2 populations 1. Test de comparaison de 2 moyennes 2. Règle de comparaison de deux pourcentages D. Test du Khi-Deux E. TD LES TESTS STATISTIQUES Chapitre 2 : ESTIMATION A. Introduction C’est le problème inverse de l’échantillonnage ; c’est à dire connaissant des renseignements sur un ou plusieurs échantillons, on cherche à en déduire des informations sur la population totale. B. Estimation ponctuelle 1. Moyenne De manière générale, on choisit la moyenne x d’un échantillon prélevé au hasard dans une population comme meilleure estimation ponctuelle de la moyenne inconnue m de cette population. 2. Proportion De même, on choisit la proportion fe des éléments possédant une certaine propriété dans un échantillon prélevé aléatoirement dans une population comme meilleure estimation ponctuelle de la proportion inconnue p des éléments de cette population ayant cette propriété. 3. Variance. Ecart-type On choisit le nombre n n 1 e 2 où : n est l’effectif et e 2 la variance d’un échantillon prélevé au hasard dans une population, comme meilleure estimation ponctuelle de la variance inconnue 2 de cette population et on prend n n 1  e comme meilleure estimation ponctuelle de l’écart-type inconnue de cette population.  C. Estimation par intervalle de confiance Les estimations ponctuelles sont hélas liées au choix de l’échantillon ; il faut donc rechercher un nouveau type d’estimation de la moyenne d’une population ou d’un pourcentage. On cherche des intervalles qui, généralement, à 95% ou 99% des cas, contiennent la moyenne m inconnue ou le pourcentage p d’une certaine propriété que possède la population. 1. De la moyenne a) 1er cas Soit P la population : m la moyenne est inconnue sl’écart-type est connu Soit un échantillon : x ela moyenne est connue n l’effectif est connu On se place dans le cas ou l’on peut considérer que la variable aléatoire X , qui à tout échantillon de taille n fixée, associe la moyenne de cet échantillon, suit une loi normale N(m;  n ). Cours de statistiques d’IUT Jean-Michel BERNABOTTO 26 Alors l’intervalle de confiance de la moyenne m de la population, avec le coefficient de confiance 2 (t) - 1, lu dans la table de la loi normale centrée réduite  N(0 ; 1) est : x e t  n ;x e t  n       Cette méthode conduit dans 100(2 (t) - 1) cas sur 100, pourcentage choisi à  l’avance, à un intervalle de confiance contenant m. Les cas usuels les plus fréquent sont : coefficient de confiance 95% alors t = 1,96  coefficient de confiance 99% alors t=2,58.  b) 2ème cas Soit P la population : m la moyenne est inconnue sl’écart-type est inconnu Soit un échantillon : x ela moyenne est connue se l’écart-type est connu n l’effectif est connu et il est inférieur strictement à 30. On se place dans le cas ou l’on peut considérer que la variable aléatoire X , qui à tout échantillon de taille n fixée, n < 30, associe la moyenne de cet échantillon, suit une loi de Student à n - 1 degrés de liberté . Alors l’intervalle de confiance de la moyenne m de la population, avec le coefficient de confiance 2 (t) - 1, lu dans la table de la loi de Student à n - 1 degrés de liberté est :  x e t e n 1 ; x e t e n 1       c) 3ème cas Soit P la population : m la moyenne est inconnue sl’écart-type est inconnu Soit un échantillon : x ela moyenne est connue se l’écart-type est connu n l’effectif est connu et il est supérieur à 30. On se place dans le cas ou l’on peut considérer que la variable aléatoire X , qui à tout échantillon de taille n fixée, n =30, associe la moyenne de cet échantillon, suit une loi normale N(m;  n ). Alors l’intervalle de confiance de la moyenne m de la population, avec le coefficient de confiance 2 (t) - 1, lu dans la table de la loi de la loi normale centrée réduite  N(0 ; 1) : x e t e n 1 ; x e t e n 1        Cours de statistiques d’IUT Jean-Michel BERNABOTTO 27 2. De la proportion A l’aide d’un échantillon, on définit de même un intervalle de confiance de la proportion p inconnue d’une caractéristique de la population. a) 1er cas Soit P la population : p la proportion est inconnue Soit un échantillon : fe la proportion est connue n l’effectif est connu et inférieur strictement à 30. Alors l’intervalle de confiance de la proportion p de la population avec le coefficient de confiance 2 (t) - 1, lu dans la table de la loi de Student à n - 1 degrés de liberté est :  fe t  fe 1 f e  n 1  ; fe t fe 1 f e  n 1          . b) 2ème cas Soit P la population : p la proportion est inconnue Soit un échantillon : fe la proportion est connue n l’effectif est connu et supérieur à 30. Alors l’intervalle de confiance de la proportion p de la population avec le coefficient de confiance 2 (t) - 1, lu dans la table de la loi normale centrée réduite  N(0 ; 1) est : fe t  fe 1 f e  n 1  ; fe t fe 1 f e  n 1          . 3. Exemples a) 1er exemple Dans une population P de grand effectif, on prélève de manière non exhaustive, un échantillon de 100 personnes dont on note la masse en kg: masse 62 64 68 10 74 effectif 5 18 42 27 8 Calculer la moyenne et l’écart-type de cet échantillon: x  e 68 kg  e 3 kg  6. Donner un intervalle de confiance de la moyenne m des masses des personnes de P au coefficient de confiance 95% : nous sommes dans le 3ème cas m 68 1, 96   3 100 1  ;68 1,96 3 100 1       67,4;68,6   b) 2ème exemple Lors d’un contrôle de qualité sur une population d’appareils ménagers, au cours d’un mois de fabrication, on prélève de manière non exhaustive un échantillon de 1000 appareils. Après un test de conformité, on constate que 60 appareils ont un défaut. Donner un intervalle de confiance du pourcentage p d’appareils défectueux au risque de 5%. Cours de statistiques d’IUT Jean-Michel BERNABOTTO 28 p 60 1000 1,96 60 1000 1 60 1000       1000 1 ; 60 1000 1,96 60 1000 1 60 1000       1000 1               0,045; 0,075 4,5%;7,5%  Cours de statistiques d’IUT Jean-Michel BERNABOTTO 29 D. TD ESTIMATIONS PONCTUELLES ET PAR INTERVALLE DE CONFIANCE Ex 1 : lors d’un concours radiophonique, on note X le nombre de réponses reçues chaque jour. On suppose que X suit une loi normale de paramètres m et . Durant les 10  premiers jours, on a obtenu : x1 = 200 ; x2 = 240 ; x3 = 190 ; x4 = 150 ; x5 = 220 ; x6 = 180 ; x7 = 170 ; x8 = 230 ; x9 = 210 et x10 = 210. Déterminer une estimation ponctuelle de m et .  Ex 2 : dans une population d’étudiants en sociologie, on a prélevé, indépendamment, deux échantillons de taille n1 = 120 et n2 = 150. On constate que 48 étudiants de l’échantillon 1 et 66 étudiants de l’échantillon 2 ont une formation secondaire scientifique; Soit p la proportion d’étudiants de la population ayant une formation scientifique ; calculer trois estimations ponctuelles de p. Ex 3 : dans une station service, on suppose que le montant des chèques essence suit une loi normale de paramètres m et . On considère un échantillon de taille n = 50 et on  obtient une moyenne de 130 F et un écart-type de 28 F. Donner une estimation de m par un intervalle de confiance au niveau de confiance 95%. Ex 4 : on donne la répartition des masses de 219 ressorts pr ovenant d’une même fabrication : masses (g) [8,2 ; 8,4[ [8,4 uploads/Geographie/ estimatiotests.pdf