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Evaluation du Risque en Assurance ère 1 partie : Assurance dommages Objectifs:

Evaluation du Risque en Assurance ère 1 partie : Assurance dommages Objectifs: • Faire appréhender aux étudiants la mécanique mathématique qui sous-tend la gestion d’une compagnie d’assurance. • Sur des modèles pratiques, leur faire acquérir la démarche d’appréciation actuarielle du risque et de sa tarification. I. L’aspect statistique de l’assurance Pour être qualifiée d’opération d’assurance, une opération doit présenter trois aspects fondamentaux indissociables où elle puise ses caractéristiques et son vocabulaire. Outre l’aspect juridique vue que l’opération d’assurance comporte un contrat et l’aspect financier et économique, il l’aspect statistique car l’assureur utilise la loi des grands nombres. Pour pouvoir fournir sa prestation, l’assureur a besoin de répartir sur tous les assurés les conséquences de sinistres survenus à quelques uns d’entre eux. Il effectue cette mutualisation dans le cadre de la loi des grands nombres. A. Compensation des risques et mutualité En utilisant le schéma général précédent, l’opération d’assurance réduite à un seul contrat ne serait qu’un pari. Contrairement à la prime qui est certaine (connue d’avance), la prestation est aléatoire (inconnue à l’avance). Elle peut être nulle et l’assureur réalise un petit bénéfice (la prime). Mais, elle peut être aussi positive et engendrer une perte insupportable pour lui. Pour éviter la faillite suite à un sinistre unique, on peut affirmer de manière intuitive que l’assureur doit avoir réuni un grand nombre d’assurés. L’ensemble des assurés forme alors une mutualité au sein de laquelle l’assureur compense les risques. Ce n’est pas une question facile à trancher, car n’augmente-t-il pas par la même occasion l’impact de risques catastrophiques ? Dans ce qui suit, les symboles utilisés auront les significations suivantes : - « i » : indice désignant le i-ème assuré. Il varie entre 1 et na. - : Nombre d’assurés. - : prime commerciale payée par i. - : la part de la prime pure qui permet, par mutualisation des risques, de payer les sinistres. - Le reste de la prime commerciale est constitué des chargements destinés à financer le fonctionnement de l’entreprise. - : somme des primes pures, connue d’avance, certaine. - : Prestation que peut recevoir l’assuré i. Elle est aléatoire et positive ou nulle. - : Somme des prestations. Elle est aléatoire. L’actuaire cherchera toujours à la prévoir avec le maximum de précision. B. La loi des grand nombres L’assureur dispose des primes pour payer les sinistres . Son équilibre s’est-il amélioré ou n’a-t-il fait qu’augmenter son risque de catastrophe ? Grâce à la loi des grands nombres nous pouvons répondre à cette question. Lorsque les risques sont identiques et indépendants, la loi des grands nombres dit, sous certaines conditions, que le montant aléatoire peut être d’autant mieux prévu que le nombre d’assurés na est plus grand. Le calcul des probabilités permet ainsi de prouver que si on multiplie le nombre de risques par na , - L’incertitude absolue est multipliée non par na mais par . - L’incertitude relative est divisée par . La mutualisation des risques permet donc de diminuer l’incertitude relative qui pèse sur les comptes de l’assureur. En effet, la loi des grands nombres permet d’affirmer que, dans la réalisation des risques, il n’y a pas trop de variations dans le nombre de malchanceux par rapport à ce qui était prévu initialement. C. Les conditions d’application de la loi des grands nombres La loi des grands nombres est valable pour des risques identiques et indépendants. Dans la pratique, on l’étend aux risques dits assez homogènes et indépendants que nous pourrions définir par des contre-exemples : - Une maison et une usine ne sont pas des risques incendie homogènes. - Les appartements d’un même immeuble ne sont pas des risques incendie indépendants. Les notions d’homogénéité et d’indépendance dépendent de la garantie. Si les risques assurés ne sont pas suffisamment nombreux, homogènes et indépendants pour que l’assureur puisse prévoir correctement la somme des prestations, autrement dit si la loi des grands nombres ne peut pas s’appliquer, l’assureur doit se réassurer. D. Traduction actuarielle Le « temps » d’une part et l’ « aléa » qui est lié à la prestation d’autre part sont les paramètres les plus importants dans le schéma général de l’assurance rappelé ci-dessous. Les caractéristiques de ces deux paramètres dans les risques assurables ont conduit à définir deux modélisations et par conséquence deux actuariats : • un actuariat à court terme et fort aléa • et un actuariat à long terme et faible aléa. 1. Comparaison des deux actuariats - Le temps / L’écart temporel entre les primes et les prestations est différent : o Bref (6 mois en moyenne) dans le premier exemple, il permet, en première approximation de ne pas modéliser explicitement les produits financiers. o Long (8 ans) dans le second exemple, le temps doit y être modélisé explicitement. - Le caractère aléatoire / L’impact d’un écart par rapport à la moyenne de la sinistralité n’a pas la même importance. o Deux dizaines de décès de plus ou de moins ont un impact important sur le résultat dans le premier exemple car le nombre « espéré » de prestations est égal au (petit) nombre de décès attendus (faible probabilité de décès, donc aléa fort). o Il ont beaucoup moins d’importance dans le second exemple car le nombre « espéré » de prestations est égal au nombre des survivants qui est presque égal au nombre des assurés (forte probabilité de survie, donc faible aléa). 2. Choix du modèle actuariel On constate qu’en général, sur les comptes des compagnies d’assurance, les provisions techniques représentent 5 fois les primes en vie et 1,5 fois les primes en non vie. Cela signifie, qu’il s’écoule, en moyenne, 5 ans en vie entre l’encaissement de la prime et le décaissement de la prestation et 1,5 ans en non vie. C’est la raison pour laquelle, traditionnellement : - On utilise le modèle d’actuariat à court terme et fort aléa en assurance non vie. - On utilise le modèle d’actuariat à long terme et faible aléa en assurance vie. L’assurance en cas de décès sera décrite par le modèle non vie si elle est de durée un an. Autrement, elle sera décrite par le modèle vie tout comme l’assurance en cas de vie. II. Modèle actuariel simple de l’assurance Les hypothèses de ce modèle sont : - Durée du contrat modélisé = 1 an, - na assurés ont souscrit ce contrat (ou encore na adhérents dans le cadre d’une assurance de groupe). - Pour i (i = 1, …, na), o L’assuré paie une prime commerciale o La prestation de l’assureur est en cas de sinistre dans l’année - Tous les risques assurés sont de même nature. - Ils sont identiques et indépendants (ou à défaut homogènes et peu dépendants). Sur ce modèle simple, nous montrerons que, même si le risque est correctement tarifé, l’assureur s’expose à un risque de perte, voire, plus grave, à un risque de ruine. Cette situation empire si la tarification n’a pas été maîtrisée. L’assurance temporaire décès d’un an est un exemple de contrat simulable par ce modèle. A. Aléa et résultat de l’assureur Dans cette partie, le tarif pratiqué par l’assureur est supposé juste. Autrement dit, l’assureur est supposé connaître ex ante l’espérance EXi de la charge aléatoire annuelle des prestations . La prime pure à payer par chaque assuré i est donc exactement égale à 1. Etude générale Les produits de l’assureur sont : - les na primes commerciales payées par les assurés : - les produits financiers provenant des placements : PF Les charges de l’assureur sont : - les prestations éventuellement versées aux assurés : - les frais de gestion nécessaires au fonctionnement de l’Entreprise : FG Son résultat est la différence entre ses produits et ses charges : où FNG sont les frais de gestion nets des produits financiers. a) La charge de prestation des na risques Les na risques étant supposés identiques et indépendants : et ainsi, la charge annuelle totale de sinistres X i a l’espérance et l’écart type suivants : Quelle que soit la loi de Xi, le théorème de la limite centrale permet d’affirmer que la loi de : ou encore que : tend vers une loi normale centrée et réduite lorsque na tend vers l’infini. Par conséquent, il y a 99,9% de chances que : ou encore, en notant Ia, l’incertitude absolue et Ir, l’incertitude relative : Application: - Lorsqu’on prévoit que vaudra environ , o L’incertitude absolue Ia, mesurée par , soit varie comme . o L’incertitude relative I , mesurée parr , soit , varie comme . o Ainsi, lorsque le nombre d’assurés est multiplié par 100, l’incertitude absolue est multipliée par 10 seulement. L’incertitude relative est quant à elle divisée par 10. C’est la traduction de la loi des grands nombres. o L’incertitude relative est plus intéressante à étudier que l’incertitude absolue car, c’est en proportion du chiffre d’affaires que s’apprécient les gains et les pertes et non en montants. o Pour un nombre na d’assurés donnés, l’incertitude relative est d’autant plus petite que l’écart relatif est petit. b) Les uploads/Geographie/ cours-d-x27-actuariat-non-vie-docx.pdf