CPGE : Lyc´ ee Ibn Abdoune Khouribga MPSI1 / MPSI2 2020/2021 Devoir surveill´ e

CPGE : Lyc´ ee Ibn Abdoune Khouribga MPSI1 / MPSI2 2020/2021 Devoir surveill´ e N o 4 15/01/2021 Dur´ ee : 3h Consignes : — Il sera tenu compte, dans l’appr´ eciation des copies de la rigueur de votre raisonnement, de la clart´ e de la r´ edaction et du soin apport´ e ` a la pr´ esentation de votre copie. — Les exercices et probl` emes peuvent ˆ etre trait´ es dans l’ordre de votre choix mais : — il est conseill´ e d’essayer de les traiter dans l’ordre ; — chaque exercice/probl` eme doit apparaitre d’un bloc sur votre copie. Prob` eme. Partie 1 : Etude de la fonction r´ eciproque de la fonction th. On notera respectivement ch, sh et th les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tan- gente hyperbolique d´ efinies par : ∀x ∈R, ch(x) = ex + e−x 2 , sh(x) = ex −e−x 2 et th(x) = sh(x) ch(x) = ex −e−x ex + e−x 1. Montrer, en ´ etudiant ses variations, que th est une bijection de R sur un intervalle I de R ` a pr´ eciser. On note argth la fonction ”argument tangente hyperbolique” sa r´ eciproque. 2. Exprimer la d´ eriv´ ee de th en fonction de th. 3. D´ emontrer que argth est impaire. 4. D´ emontrer que argth est d´ erivable sur I et calculer sa d´ eriv´ ee. 5. Exprimer argth ` a l’aide des fonctions usuelles. Partie 2 : Etude d’une ´ equation fonctionnelle. Le but de cette partie est de r´ esoudre le probl` eme suivant : d´ eterminer les fonctions f d´ efinies sur R, ` a valeurs r´ eelles et d´ erivables en 0 qui v´ erifient : ∀x ∈R, f(2x) = 2f(x) 1 + (f(x))2 Remarque : Dans cette partie une solution du probl` eme pos´ e est d´ erivable au point 0. 1. D´ eterminer les fonctions constantes solutions du probl` eme pos´ e. 2. D´ eterminer les valeurs possibles de f(0) si f est une solution. 3. Montrer que, si f est solution, on a ∀x ∈R, −1 ⩽f(x) ⩽1. (Indication : exprimer f(x) en fonction de f x 2  ). 4. Montrer que si f est solution, −f est aussi solution. 5. Montrer que th est solution du probl` eme pos´ e. 6. On suppose que f est une solution du probl` eme pos´ e, f(0) = 1 et que f n’est pas constante. On consid` ere x0 ∈R, tel que f (x0) ̸= f(0) et l’on d´ efinit la suite (un)n∈N par : ∀n ∈N, un = f x0 2n  1 CPGE : Lyc´ ee Ibn Abdoune Khouribga MPSI1 / MPSI2 2020/2021 6.a) Montrer que la suite (un)n∈N est convergente et pr´ eciser sa limite. 6.b) Etablir une relation entre un et un+1; en d´ eduire que la suite (un)n∈N garde un signe constant, puis ´ etudier sa monotonie suivant le signe de u0. 6.c) D´ eduire une contradiction. 6.d) Que peut-on dire si l’hypoth` ese ” f(0) = 1 ” est remplac´ ee par l’hypoth` ese ” f(0) = −1” ? 6.e) Conclusion ? Dans les questions 7. ` a 12., on suppose que f est une solution du probl` eme pos´ e et que f(0) = 0. 7. En raisonnant par l’absurde et en consid´ erant une suite du mˆ eme type que celle de la question 6., montrer que : ∀x ∈R, f(x) ̸= 1 et f(x) ̸= −1 On d´ efinit alors la fonction g par : ∀x ∈R, g(x) = argth(f(x)) 8. Montrer que g est d´ erivable en z´ ero. 9. Montrer que : ∀x ∈R, g(2x) = 2g(x). 10. Soit x ∈R∗; on d´ efinit la suite (vn)n∈N par : ∀n ∈N, vn = f( x 2n ) x 2n . Montrer que (vn)n∈N est convergente et d´ eterminer sa limite. 11. Montrer que la suite (vn)n∈N est constante, en d´ eduire que g est lin´ eaire. 12. Donner la forme de f dans ce cas. 13. D´ eterminer toutes les fonctions solutions du probl` eme pos´ e. Partie 3 : Etude d’une ´ equation diff´ erentielle . Consid´ erons l’´ equation diff´ erentielle : (x2 −1)y′ + xy = 1 (1) Soit I un intervalle de R, SI d´ esigne l’ensemble des solutions de l’´ equation (1) sur I. 1. Donner la d´ eriver des fonctions arcos, et argch, sur des intervalles ` a pr´ eciser. 2. D´ eterminer l’ensemble S]−1,1[. ( fλ ,λ ∈R, repr´ esente les ´ el´ ements de S]−1,1[) 3. D´ eterminer l’ensemble S]1,+∞[. ( gµ, µ ∈R, repr´ esente les ´ el´ ements de S]1,+∞[) 4. Soit ψ une solution de l’´ equation (1), sur l’itrevalle ] −1, +∞[.Calculer ψ(1). 5. Soit λ un nombre r´ eel. Montr´ e que si la fonction fλ ` a une limite finie en 1−, alors λ = 0. 6. Calculer lim x− →1−f0(x) (Indication : utiliser un changement de variable) 7. Soit µ un nombre r´ eel. Montr´ e que si la fonction gµ ` a une limite finie en 1+, alors µ = 0. 8. Calculer lim x− →1+ g0(x) Soit φ :] −1, +∞[− →R la fonction d´ efinie par : φ(x) =      f0(x) si −1 < x < 1 ψ(1) si x = 1 g0(x) si x > 1 (2) 9. Montrer que la fonction φ est d´ erivable sur l’intervalle ] −1, +∞[, est que φ ∈S]−1,+∞[. (Indication : vous pouvez utiliser sans d´ emonstration qu’au voisinnage de 0 on a : −sin(t) + tcos(t) ∼sh(t) −tch(t) ∼−t3 3 ) 10. Question supl´ ementaire. Montrer l’indication de la question 9. 2 uploads/Geographie/ ds-4-pdf.pdf

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