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3 – Échantillonnage 1- Notion d’échantillonnage On note que la valeur f = ! " r

3 – Échantillonnage 1- Notion d’échantillonnage On note que la valeur f = ! " retenue comme estimation de p = # $ et permettant de calculer N qui dépend de l’échantillon de recapture. Un théorème mathématique permet de quantifier le niveau de confiance que l’on peut accorder à cette estimation en fonction de la taille n de l’échantillon. Pour de grandes valeurs de n, un intervalle de confiance Ic de p, au niveau de confiance de 95%, peut être donné par la formule : La connaissance de l’intervalle Ic permet d’encadrer la valeur de p puis d’encadrer celle de N toujours avec un niveau de confiance de 95%. 2- Application au calcul de l’abondance d’une population Exercice 1 : Les salamandres (Doc 3 page 169 : Voir sur feuille 1ère partie (CMR) du chap 1) On note N l’abondance de la population de salamandres, que l’on cherche à estimer. Donner une estimation de la proportion de salamandres marquées et un intervalle de confiance à 95% de p puis de N. M = 27 : On a marqué 27 salamandres que l’on relâche ensuite n = 42 : On a recapturé 42 salamandres m = 20 : Il y a 20 salamandres marquées dans l’échantillon N : On a estimé le nombre de salamandre à 57 (abondance). - Estimation de la proportion de salamandres marquées : f = ! " = %& '% ≈ 0,48 On appelle intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% l’intervalle auquel f appartient avec une probabilité de 95% et qui est donné par : Ic = ë ê éf – 1 n ; û ú ù f + 1 n Ic = ë ê é%& '% – 1 42 ; û ú ù %& '% + 1 42 Ic ≈ [0,32 ; 0,63] Il y a 95% de chance que la proportion de salamandre marquées soit comprise entre 32% et 63%. On en déduit : 27 N ∈ [0,32 ; 0,63] ⟺ 27 N = 0,32 et 27 N = 0,63 IN ≈ [ 27 0,32 ; 27 0,63 ] IN ≈ [42 ; 84] Il y a 95% de chance que la nombre de salamandre marquées soit comprise entre 42 et 84. IC = f −1 n ; f + 1 n ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ Exercice 2 : Recapture 1 2 3 4 Total Taille de l’échantillon n 1 080 1224 1107 1233 4644 Otaries recapturées déjà marquées m 391 378 363 357 1489 N 1 291 × 1 080 391 1 291 × 1 224 378 1 291 × 1 107 363 1 291 × 1 233 357 3 565,9 4 180,4 3 937 4 458,8 4026 f 0,362 0,309 0,328 0,29 0,321 Ic [0,331 ; 0,392] [0,28 ; 0,338] [0,298 ; 0,358] [0,262 ; 0,318] [0,306 ; 0,336] IN [3293 ; 3900] [3819 ; 4610] [3606 ; 4332] [ 4059; 4927] [ 3842; 4219] Explication 1 : 1291 N ∈ [0,331 ; 0,392] ⟺ 1291 N = 0,331 et 1291 N = 0,392 IN ≈ [ 1291 0,391 ; 1291 0,331 ] donc IN ≈ [3293 ; 3900] Exercice 3 : On considère une population de taille N à estimer. Une première capture a permis de marquer M = 315 individus, que l’on relâche ensuite dans la population. a- Lors d’une recapture, on récupère n = 1600 individus dont m = 112 sont marqués. Donner un encadrement de N au niveau de confiance de 95 %. Estimation de la proportion d’individus marqués : f = ! " = 77% 78&& = 0,07 Ic = ë ê éf – 1 n ; û ú ù f + 1 n Ic = ë ê é0,07 – 1 1600 ; û ú ù 0,07 + 1 1600 Ic ≈ [0,045 ; 0,095] IN ≈ [3 316 ; 7 000] Il y a 95% de chance que la proportion d’individus marqués soit comprise entre 4,5% et 9,5%. b- Répondre à la même question si on avait seulement recapturé 400 individus dont 30 marqués. Estimation de la proportion d’individus marqués : f = ! " = 9& '&& = 0,075 Ic ≈ [0,025 ; 0,125] Il y a 95% de chance que la proportion d’individus marqués soit comprise entre 2,5% et 12,5%. On en déduit : IN ≈ [2 520 ; 12 600] c- Commenter ces résultats. L’intervalle de confiance est inversement proportionnel à la racine de la taille de l’échantillon. Ainsi, plus la taille de l’échantillon sera grande plus la valeur de 1 n sera petite et donc plus l’intervalle de confiance est réduit. uploads/Geographie/ echantillonnage-correction.pdf