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L ’ESTIMATION DE LA PROPORTION Exposé sous le thème : Présenté par :  Taibi ZI

L ’ESTIMATION DE LA PROPORTION Exposé sous le thème : Présenté par :  Taibi ZIDOUZ Zobair EL AFIA Plan Introduction Echantillonnage Problématique Estimation de la proportion Estimation ponctuelle Estimation par un intervalle de confiance Conclusion X de loi quelconque de moyenne E(X) = m , de variance V(X) = s² La variance corrigée s² de l’échantillon est une bonne estimation de la variance s² de la population La moyenne de l’échantillon est une bonne estimation de la moyenne m de la population x La proportion f de l’échantillon est une bonne estimation de la proportion p de la population x s² Proportion p d’un caractère f Introduction : estimation de la moyenne et de la prpoportion Il est en pratique impossible d’étudier tous les sujets appartenant à une population. c’est pourquoi on doit extraire une partie que l’on appelle échantillon on dit que c’est un échantillon représentatif Extrait correctement Image simplifiée de la population. Peut être aléatoire (dépend du problème) Cet échantillon, comme nous le verrons plus tard, doit être assez grand pour pouvoir obtenir de bonnes conclusions. Echantillionage Echantillon Pourcentage estimé (exp: on cherche le pourcentage des étudiants fumeurs, en prenant un classe de mater GMTCC) Problématique Technique d’estimation Estimation ponctuel Estimation par I.C Par la suite, nous étudierons uniquement les propriétés d’´echantillons aléatoires en notant  P la population E l’échantillon aléatoire extrait de P En utilisant de quelques outil statistiques comme la moyenne, la variance ou l’´ecart- type. 25 % sont de fumeurs N.B Ça c’est dans le cas générale c.a.d pour l’estimation de la moyenne et la proportion Moyenne: Variable aléatoire quantitative Proportion (fréquence): Variable aléatoire qualitative Le but est de tirer des conclusions sur la population générale à partir de l’échantillon que l’on a extrait, d’ou l’importance qu’il soit représentatif. Les tests statistiques effectués sur cet échantillon aléatoire permettent de mesurer la part du hasard lors du tirage au sort dans la population P, et donc d’arriver à des conclusions sur P. La variable aléatoire étudier est une variable qualitatif a deux modalités: présente un caractère donné ne le présente pas Estimation de la proportion Estimation de la proportion Estimation de la proportion (Fréquence) Estimation ponctuelle I Estimation par un intervalle de confiance  Très facile à réalisé  moins précise Effectuée grâce au théorème centrale limite  précise Reprenons l’exemple des étudions fumeurs à la faculté des science de Kenitra . Quelle est le pourcentage des fumeurs ? Nous observons que 10 personnes sur 40 sont des fumeurs, ce qui représente : % 25 40 10   p Estimation ponctuelle Estimation ponctuelle: 25 % de personnes sont fumeurs Le problème est de savoir que elle est la proportion f des étudiants fumeurs à la faculté des sciences (la population totale). 25 % (p) est la proportion de personnes fumeur sur l’´echantillon. Estimation par un intervalle de confiance  f est évidemment inconnue et n’est pas calculable  f peut être estimer pour un intervalle de confiance donné. Toujours grâce au théorème central limite, nous pouvons dire que f se trouvera à α près, ou α est un risque d’erreur que l’on se fixe a priori, dans l’intervalle suivant :              ) 2 1 ( . ) 1 .( ); 2 1 ( . ) 1 .(   u n p p p u n p p p I  u-α /2 est le fractiles d’ordre 1 − α /2 d’une loi normale centrée réduite. Ces fractiles se trouvent dans les tables des fractiles de la loi normale fracties Estimation par un intervalle de confiance si on prend un risque d’erreur de 5% Donnés: p= 0,25 , n= 40 Alors l’intervalle de confiance est: [11.6 ; 38.4] on peux dire donc, avec un risque d’erreur de 5%, que la proportion de personnes fumeurs au niveau de la population totale (faculté des sciences) est comprise entre 11,6 % et 38,4%. Pour estimer la proportion p d’une population, on utilise la proportion f de l’échantillon Estimation ponctuelle Estimation par intervalle de confiance Pour avoir une idée de la fiabilité et de la précision du résultat on utilise un intervalle de confiance Résumé sur l’estimation d’une proportion              ) 2 1 ( . ) 1 .( ); 2 1 ( . ) 1 .(   u n p p p u n p p p I Conclusion Tout d’abord, nous nous rendons compte que le résultat d’une enquête ne peut être donné de façon ponctuelle (par exemple il est osé de dire nous estimons que 25 % des personnes sont des fumeurs) , mais qu’il est préférables de le donner accompagné d’une précision, c’est à dire sous la forme d’un intervalle de confiance. Amélioration des résultats  Soit en diminuant les fractiles, ce qui aura pour conséquence d’augmenter le risque d’erreur (α).  Soit en augmentant n, c’est à dire le nombre de personnes se trouvant dans l’´echantillon. Application On prend un échantillon de 400 personnes choisies au hasard. On trouve que 150 portent des lunettes. 1. Déterminer un intervalle de confiance à 95 % de la proportion de gens portent des lunettes. 2. Déterminer la taille de l’échantillon si on veut être sûr à 99 % que la majorité des gens ne portent pas de lunettes Solution 1. Nous avons n = 400 p = 0,375 Risque d’erreur de 5 % D’après le tableau des fractiles de la théorème centrale on trouve u = 1,96 Donc l’intervalle de confiance est [ 0, 327 ; 0, 423 ] 2. Déterminer la taille de l’échantillon si on veut être sûr à 99 % que la majorité des gens ne portent pas de lunettes. 2. Pour avoir que la majorité des gens ne portent pas des lunettes il faut que l’intervalle de confiance ne dépasse pas 50 % . Alors Il faut que Avec α = 0,01 p = 0,375 A.N n > 99 5 , 0 ) 2 1 ( . ) 1 .(      u n p p p n p u n p p     5 , 0 ) 2 1 ( . ) 1 .(  Merci pour votre attention uploads/Geographie/ expose-estimation-de-la-proportion.pdf