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MATh.en.JEANS 2018-2019 Lycée Koeberlé –Sélestat (67) page 1 Cet article est rédigé par des élèves. Il peut comporter des oublis et imperfections, autant que possible signalés par nos relecteurs dans les notes d'édition. Modéliser une épidémie Année 2018 - 2019 Claire ACKERMANN, Elise ROHMER, Henri STEPHAN, élèves de Terminale S Encadré·es par : Nadine MEYER Etablissement : Lycée Dr. Eugène KOEBERLE à SELESTAT (67) Chercheuse : Myriam MAUMY-BERTRAND, Université de Strasbourg IRMA I. Présentation du sujet Dans la vie quotidienne, les vaccins proposent certes une protection individuelle : chaque individu, en se vaccinant contre une maladie, est presque assuré de ne pas contracter cette maladie. Mais les vaccins forment aussi une protection collective. En effet, les vaccins empêchent la multiplication de l'agent pathogène chez les personnes vaccinées : elles ne peuvent ainsi pas le transmettre. Plus il y a de personnes vaccinées, moins les agents pathogènes peuvent se développer en eux et donc contaminer les non vaccinés, et donc moins la maladie prendra de l'envergure. Ainsi, plus la proportion de vaccinés sera grande au sein d'une population, moins il y aura de contaminés au sein des non vaccinés. On souhaite, par le biais d'une modélisation, répondre à la question suivante : La proportion de vaccinés dans une population a-t-elle une influence sur la durée de propagation d'une épidémie et sur le nombre d'individus qu'elle touche ? Objectif : Nous cherchons à modéliser simplement la propagation d'une épidémie au sein d'une population finie. Nous souhaitons voir l'influence de certains paramètres tels que la taille de la population de base, le nombre d'infectés à l'instant 0 et surtout le nombre de vaccinés à l'instant 0 sur le temps total de propagation de l'épidémie et sur le nombre final de personnes touchées par l'épidémie. MATh.en.JEANS 2018-2019 Lycée Koeberlé –Sélestat (67) page 2 II. Point de départ Le point de départ de notre travail est un jeu qui a pour but de montrer simplement comment une épidémie peut se propager au sein d'une population. Le principe de ce jeu peut être résumé comme ci-dessous : A. La partie théorique : Nous disposons d'une population d'un effectif connu. Cette population est divisée en quatre catégories : les individus infectés, les individus convalescents mais toujours contagieux, les individus immunisés et les individus normaux (c'est-à-dire le reste). La maladie se propagera au sein de la population par unité de temps (T-0, T-1, ..., T-K, T-K+1, ..., T-F). Au temps T-0, nous définissons donc la taille de notre population, le nombre d'individus infectés ainsi qu'éventuellement le nombre d'individus vaccinés (pour simplifier, les individus vaccinés seront des individus immunisés de base, à T-0 et donc tout le long de notre jeu). Au début de chaque unité de temps : - chaque individu convalescent devient immunisé et contamine aléatoirement un autre individu - chaque individu infecté devient un individu convalescent mais toujours contagieux et contamine aléatoirement un autre individu de la population Ces deux actions se font simultanément, c'est-à-dire qu'au début de chaque unité de temps, on fait la somme S des infectés et des convalescents et ce nombre définira le nombre d'individus à contaminer aléatoirement. Pour contaminer aléatoirement des individus de la population, nous attribuons à chaque individu au début du jeu un numéro (allant de 1 à n individus), et, après avoir effectué la somme S, on répète S fois l'expérience « tirer un numéro au hasard entre 1 et n ». Nous aurons alors S numéros, qui correspondront donc aux numéros donnés à chaque individu de notre population, et qui seront donc les individus qui deviendront infectés. Mise en garde : - si le numéro tiré correspond à un individu infecté, ce dernier n'est pas réinfecté, il devient naturellement convalescent (autrement dit, la contamination n'a pas d'effets sur les individus déjà infectés) - si le numéro tiré correspond à un individu convalescent, idem, cela n'a pas d'influence, il passe naturellement dans la catégorie des immunisés - si le numéro tiré correspond à un individu immunisé (qu'il soit vacciné de base ou qu'il soit devenu immunisé suite à une contamination préalable), il ne sera pas infecté, la contamination n'a plus d'impact sur les immunisés → en bref, la contamination fait passer un individu dans la catégorie infecté uniquement si cet individu faisait partie de la catégorie des individus normaux. Elle n'a pas d'impact sur les individus des catégories des infectés, des convalescents et des immunisés. Ainsi, au cours du jeu, les seuls processus possibles pour les individus sont : MATh.en.JEANS 2018-2019 Lycée Koeberlé –Sélestat (67) page 3 T- 0 T- 1 T- 2 T- K T- Final infecté convalescent immunisé immunisé immunisé immunisé (vacciné) immunisé immunisé immunisé immunisé normal infecté convalescent immunisé immunisé normal normal normal normal normal Tableau représentant les uniques chemins possibles pour un individu donné au cours des unités de temps (avec T- K désignant une étape quelconque comprise entre T- 0 et T- F-1 exclus pour le cas où l'individu est infecté/immunisé dès T- 0, et T- K entre T-0 et T- F-2 exclus pour le cas où l’individu est dans le groupe normal en T- 0). Notons que dans le cas où il n'y a plus d'infectés, pour le(s) dernier(s) individu(s) convalescent(s) T- K+2 = T- F. Le jeu s'arrête lorsque qu'il n'y a plus d'infectés et de convalescents (plus personne ne peut donc contaminer le reste de la population). (1) A la fin du jeu, il ne reste que donc deux populations : les immunisés, qui regroupent les vaccinés du départ et tous les individus ayant été infectés au cours du jeu, et les normaux, c'est-à-dire la population qui a échappé à la contamination (notons que cette population peut être nulle dans le cas où l’entièreté de la population des normaux s’est fait contaminer au cours du jeu). Nous pouvons schématiser cette expérience sous formes de boîtes pour mieux comprendre les mouvements d'individus au sein des catégories : MATh.en.JEANS 2018-2019 Lycée Koeberlé –Sélestat (67) page 4 B. La partie pratique : Nous avons tout d'abord réalisé ce jeu deux fois nous-mêmes, sur un effectif de 18, avec des cartes représentant le groupe auquel appartenait chacun de nos 18 individus et avec un programme nous servant à tirer des nombres aléatoires entre 1 et 18 afin d'avoir une première approche avec ce jeu et relever les éventuels problèmes. Nous nous intéressons particulièrement à la durée de la propagation de l'épidémie (au bout de combien d'étapes le jeu est fini, c'est-à-dire au bout de combien d'étapes il n'y a plus d'infectés et plus de convalescents) et au nombre de personnes dans la catégorie des individus normaux à la fin du jeu (c'est-à-dire combien de personnes, par rapport à notre effectif de base, n'ont pas été touchées par l'épidémie). Nous avons obtenu les résultats suivants : Nous observons qu'avec le même effectif de départ et le même nombre d'infectés de base, le jeu ne se finit pas au bout du même nombre d'unités de temps et le nombre d'individus dans la catégorie des normaux à la fin du jeu est différent. Il serait donc intéressant de reproduire ce jeu sur Python afin de pouvoir le faire un grand nombre de fois en modifiant certains paramètres (taille de la population, nombre d'infectés de départ, nombre de vaccinés) et observer leur influence. III. Notre travail sur Python : Nous souhaitons réaliser un programme afin de répéter de manière aléatoire la propagation d'une épidémie un grand nombre de fois sur une population donnée en faisant éventuellement varier uniquement les MATh.en.JEANS 2018-2019 Lycée Koeberlé –Sélestat (67) page 5 paramètres suivants : taille de la population de base, nombre d'infectés à T-0 et nombre de vaccinés à T-0. Nous nous intéressons particulièrement à deux données : le nombre d'unités de temps passées pendant la propagation de l'épidémie et le nombre de non immunisés à la fin de la propagation (c'est-à-dire ceux qui n'ont été ni infectés ni immunisés dès le début). Nous allons maintenant détailler en plusieurs étapes le programme que nous avons réalisé. Étape 0 – Mise en place des différentes listes et diagrammes : Tout d’abord, on demande au début du programme à l'utilisateur de rentrer plusieurs paramètres comme la taille de la population totale, l'effectif d'individus dans la catégorie des normaux (non infectés, non vaccinés), la part d’infectés et celle de vaccinés, ainsi que le pourcentage de chance pour un individu infecté ou convalescent mais toujours contagieux de contaminer quelqu’un (un infecté/convalescent ne contamine pas forcément quelqu’un selon le pourcentage rentré). Ensuite, on crée des listes pour classer les différents cas observables. Chaque catégorie est représentée par une liste de nombres dans laquelle les individus sont eux-mêmes représentés par des nombres. Un nombre correspond à un individu. De ce fait, on pourra facilement modéliser le passage des individus d'une catégorie à l'autre, par exemple quand ils se font contaminer, en changeant de liste le nombre qui représente l'individu en question. Enfin, on demande au programme de nous afficher les résultats sous la forme d’un diagramme (qui sera défini en 2 parties : une partie pour l'étape T-1, uploads/Geographie/ modeliser-une-epidemie-lycee-koeberle-selestat-2019.pdf