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28/12/2014 1 Echantillonnage et Estimation Echantillonnage et Estimation Chapit

28/12/2014 1 Echantillonnage et Estimation Echantillonnage et Estimation Chapitre 5 1 Echantillonnage Echantillonnage 2 28/12/2014 2 Population • Une Population est toute collection d’objets à étudier ayant des propriétés communes appelés des individus ou unités statistiques • Une population peut être infinie, ou finie de taille N. • La statistique traite des propriétés des populations plus que celles d’individus particuliers. 3 Échantillon • L’étude de tous les individus d’une population finie s’appelle un recensement. Lorsque l’on observe qu’une partie de la population, on parle de sondage. • La partie étudiée s’appelle l’échantillon. • Il existe plusieurs méthode de construction d’un échantillon, dont la plus simple est celle de l’échantillonnage aléatoire simple correspondant à des tirages équiprobables et indépendants les uns des autres. • Sa taille est notée n<<N • Dans ces conditions, les observations deviennent des v.a. ainsi que les résumés numérique usuels: ils convient donc d’en chercher les lois de probabilité avant de tenter d’extrapoler (inférés) à la population. 4 28/12/2014 3 Échantillon • Si on prélève au hasard n individu dans une population finie de taille N et on veut étudier une caractéristique X de la population. • X est une v.a. appelée v.a. mère ou parente. • À chaque individu i tiré, on associe une v.a. Xi dont on observe une seule réalisation xi. Alors les Xi sont des v.a. ayant toutes la même distribution, celle de X. • On suppose que les Xi sont mutuellement indépendantes (ou au moins, indépendantes deux à deux). 5 Échantillon • On a donc la double conception suivante: Les valeurs observées (x1,x2,…,xn) constituent n réalisations indépendantes d’une v.a. X ou encore, une réalisation unique du n-uple (X1,X2,…,Xn) où les Xi sont n v.a. indépendantes et de même loi. • On note par la suite un échantillon le n-uple (X1,X2,…,Xn) . 6 28/12/2014 4 Les statistiques • La théorie de l’échantillonnage se propose d’étudier les propriétés du n-uple (X1,X2,…,Xn) et des caractéristiques le résumant, les statistiques, à partir de la distribution supposée connue de la variable parente X, et d’étudier en particulier ce qui se passe lorsque la taille de l’échantillon est élevée. 7 Les statistiques • Il est d’usage dans la pratique de résumer les n valeurs d’un échantillon x1,x2,…,xn par quelques caractéristiques simples telles que moyenne, plus grande valeur, etc. • Ces caractéristiques sont elles-mêmes des réalisations de v.a. issues de X1,X2,…,Xn. • Une statistique T est une v.a. fonction mesurable de X1,X2,…,Xn T=f (X1,X2,…,Xn ) 8 28/12/2014 5 Les statistiques • Exemples: • La moyenne empirique d’un échantillon (X1,X2,…,Xn) est: • Sa variance empirique est: ∑ = = n i i X n X 1 1 ( ) ∑ = − = n i i X X n S 1 2 2 1 9 La distribution de la moyenne • Pour une réalisation (x1,x2,…,xn), la statistique prendra la valeur • Cette valeur est la moyenne arithmétique. • Pour une autre réalisation, dans les mêmes conditions, un deuxième échantillon donnera pour réalisation et prendra alors la valeur 10 X ∑ = = n i i x n x 1 1 ∑ = ′ = ′ n i i x n x 1 1 X ) , , , ( 2 1 n x x x ′ ′ ′ … 28/12/2014 6 Propriétés 1. L’espérance mathématique, notée , de est égale à la moyenne m de la population: En effet, on a: 11 X µ X m X = µ ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ = = = =       =       = = n i i n i i n i i X X E n X E n X n E X E 1 1 1 1 1 1 µ ( ) m nm n m m m n = = + + + = 1 1 … Propriétés 2. La variance de , notée , est égale à où σ2 est la variance de la population et n la taille de l’échantillon. En effet, on a: où les v.a. Xi sont indépendantes 12 X 2 X σ n 2 σ ( )       = = ∑ = n i i X X n Var X Var 1 2 1 σ ( ) n n n X Var n n i i 2 2 2 1 2 1 1 σ σ = = = ∑ = 28/12/2014 7 Remarques • La moyenne et la variance de sont calculées pour le cas d’un échantillon de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (échantillon tiré avec remise d’une population finie ou échantillon tiré avec ou sans remise d’une population infinie). • Si l’échantillon est tiré sans remise d’une population finie, les variables ne sont plus indépendantes. Dans ce cas, on a toujours 13 X ( ) m X E X = = µ mais on trouve un autre résultat pour la variance En effet, la population étant de taille N, il y a échantillons de taille n et avec et 14 ( ) 1 2 − − = N n N n X Var σ n N C ( ) ( ) ( )        + =       =       = = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ≠ n i n j i j i i n i i n i i X j i X X Cov X Var n X Var n X n Var X Var 1 1 , 2 1 2 1 2 , 1 1 1 σ ( ) 2 σ = i X Var ( ) ( )( ) [ ] m X m X E X X Cov j i j i − − = , 28/12/2014 8 15 ( ) ( )( ) [ ] m X m X E X X Cov j i j i − − = , ( )( ) ( ) k j l i k N l N k l x X x X P m x m x = = − − = ∑∑ = = ; 1 1 ( )( ) ( ) ( ) l i k j l i k N l N k l x X x X P x X P m x m x = = = − − =∑∑ = = / 1 1 ( ) ( )( ) m x m x N N X X Cov k N k l l j i k l − − − = ∑ ≠ =1 , 1 1 1 , ( )( ) l k pour N N l k pour m x m x N l N k k l ≠ −      = − − = ∑∑ = = 1 1 1 0 1 1 On a donc: ( )( ) ( ) l i k j k N l N k l x X x X P N m x m x = = − − = ∑∑ = = / 1 1 1 16 Comme ( ) ( ) ( )( ), 1 , 1 2 2 1 ∑ ∑ ∑ ≠ = = = − − + − =       − N k l k l N i i N i i k l m x m x m x m x ( ) 0 2 1 =       − ∑ = N i i m x ( ) , 2 1 2 σ N m x N i i = − ∑ = et on obtient ( ) ( ) 2 1 1 1 , σ N N N X X Cov j i − − = et donc ( )       − − − =                 − − + = ∑ ≠ = ) 1 ( 1 1 1 1 2 2 2 1 , 2 2 2 n n N n n N n n X Var N k l k l σ σ σ σ ( ) 1 2 − − = N n N n X Var σ D’où 1 − − N n N s’appelle facteur d’exhaustivité 28/12/2014 9 Propriété: • On peut affirmer, en vertu des propriétés de la loi normale, que lorsque la population a une distribution normale, la distribution d’échantillonnage de la moyenne est aussi normale. • Le théorème de la limite centrale nous permet d’affirmer, d’autre part, que quelle que soit la distribution de la population, la distribution de est normale N(0,1) lorsque n est grand (en pratique ceci est vrai dès que n>30). 17 n m X / σ − La distribution de la variance • La variance empirique d’un échantillon aléatoire (X1,X2,…,Xn) est défini par: • Pour une réalisation (x1,x2,…,xn), la statistique S2 prendra uploads/Geographie/ echantillonnage-et-estimation.pdf