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Page 1/2 Bac C 1999 / Mathématiques http://maths.educamer.org Powered by www.ed

Page 1/2 Bac C 1999 / Mathématiques http://maths.educamer.org Powered by www.educamer.org Prépas Bac Exercice 1 / 03,5 points Pour tout entier naturel non nul n, on pose An = 32n – 2n et Bn = 32n+1 + 2n+2. 1. Démontrer par récurrence que : a. An est multiple de 7. 1,25 pt b. Bn est multiple de 7. 1,25 pt 2. En déduire que les nombres 328 – 214 et 383 + 243 ne sont pas premiers entre eux. 1 pt Exercice 2 / 06,5 points Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (O, → u, → v), on considère l’application f qui au point M(x, y) associe le point M’(x’, y’) tel que x'=y y'=x ⎧ ⎨ ⎩ On note z l’affixe de M et z’ l’affixe de M’. 1. a. Exprimer z’ en fonction de z. 0,5 pt b. Démontrer que f = r o s où s est la réflexion d’axe (O ; → u) et r une rotation affine à préciser. 1,5 pt 2. En décomposant r en deux réflexions, démontrer que f est une réflexion et préciser son axe. 1,5 pt 3. On note g l’application du plan qui a tout point M(x, y) associe le point M’’(x’’, y’’) tel que x''=y+1 y''=x+1 ⎧ ⎨ ⎩ On note z l’affixe de M et z’’ l’affixe de M’’ a. Exprimer z’’ en fonction de z. 0,5 pt b. Déterminer la nature de l’isométrie t telle que g = tof. 1,5 pt c. On note K le milieu du segment [MM’’], démontrer que K appartient à une droite fixe lorsque M parcourt le plan. Problème / 10 points Les deux parties A et B sont indépendantes. Partie A E désigne l’espace affine euclidien de dimension 3 et α un nombre réel strictement positif. On considère le carré ABCD de centre O. 1. Vérifier que O est l’isobarycentre du système {A, B, C, D}. 0,25 pt Sur la figure ci-contre (voir ci-dessous), le point E n’appartient pas au plan (ABCD), on donne EA = EB = EC = ED = 2α ; AC = BD = α MINESEC - OBC ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES EXAMEN : BACCALAURÉAT C Session 1999 Durée : 3 H Coefficient : 4 Page 2/2 Bac C 1999 / Mathématiques http://maths.educamer.org Powered by www.educamer.org Prépas Bac 2. a. Démontrer que la droite (EO) est orthogonale au plan ABCD. 0,5 pt (Sm) désigne l’ensemble des points M de l’espace tels que : MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = mα 2. b. Déterminer (Sm) suivant les valeurs de m. 1 pt 3. On suppose la droite (EO) orientée par le vecteur ⎯→ OE et l’angle ( ⎯→ OB, ⎯→ OC) de mesure /2 π ; on note r la rotation d’axe (EO) et d’angle /2 π . Déterminer les images par r des points A, B, C, D et E. En déduire que ABCDE est invariant par r. 1, 5 pt Partie B F est la fonction de la variable réelle x définie sur Y \ {1} par f(x) = -x e 1-x . C désigne sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan, l’unité de longueur sur les axes est le centimètre. 1. Calculer les limites de f en -∞, en +∞, à gauche et à droite du point I, puis la dérivée de f. En déduire le tableau de variation de f. 2 pts 2. Préciser les branches infinies de f et tracer C. 2 pts 3. On se propose de déterminer un encadrement de l’aire a de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, C et la droite d’équation x = 0,5. a. Vérifier que pour tout x 2 1 0; 0,5 1 1 1 x x x x ∈ = + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − − b. En déduire que -t 2 -t 0,5 0,5 0,5 -t 0 0 0 e t e dt = (1+t)e dt+ dt 1-t 1-t ∫ ∫ ∫ 4. a. Démontrer que, pour tout x ∈⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 0 ; 0,5 , 1 ≤ f(x) ≤ 2 e b. En déduire que 1 24 ≤ 2 -t 0,5 0 t e 1-t ∫ ≤ 1 12 e 5. En déduire que : a. A l’aide d’une intégration par parties, calculer 0,5 -t 0 (1+t)e dt ∫ 0,75 pt b. Déduire des questions précédentes un encadrement de a. 0,5 pt A B C D E O uploads/Geographie/ epreuve-de-mathematiques.pdf