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MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE REPUBLIQU

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE REPUBLIQUE DU MALI Un Peuple – Un But – Une Foi MICRO PROJET Thème : ESPACES VECTORIELS DES MATRICES Année Académique : 2020 - 2021 Date de soutenance : le / /2021 Préparé et soutenu par : Fatoumata Cissé Modibo Coulibaly Djéneba Tangara Mahamadou Kallé Fatoumata Bai Sylla Amadou Koné Encadrant : Dr Daouda Diawara Classe : Licence 1 Tronc Commun II Dédicace : Avant d’entamer ce travail nous comptons le dédier à nos chers parents qui nous ont tellement soutenus qui nous ont doté d’une éducation digne et de leurs amours qui ont fait de nous ce que nous somme aujourd’hui. Plus particulièrement à nos papas pour le gout à l’effort qu’ils ont suscité en nous, de par sa rigueur. A nos mamans, ceci est notre profonde gratitude pour votre éternelles amours, que ce rapport soit le meilleur cadeau que nous puissions vous offrir. III REMERCIEMENT Nous remercions le bon Dieu de nous avoir donné la sante et la volonté d’entamer et de terminer ce Micro projet. Ce travail ne serait pas aussi riche et n’auras pas pu avoir le jour sans l’aide et l’encadrement de Dr Diawara Daouda, on le remercie pour la qualité de son encadrement exceptionnelle, pour sa patience, sa rigueur et disponibilité durant notre préparation de ce Micro Projet. Nos remerciements s’adressent à Mr Amadou Djadjé Traoré pour son aide pratique et ses conseils. Nous remercions également tous nos professeurs pour leurs générosités et la grande patience dont ils ont su faire preuve malgré leurs charges académiques et professionnelles. IV SOMMAIRE Introduction : Chapitre 1 : Matrices I. Espace Vectoriel des Matrices II. Matrices Chapitre 2 : Opération sur les Matrices I. Egalité de deux matrices II. Transposée d’une matrice III. Matrice de Passage IV. Les grandeurs Numériques associés à une matrice déterminant d’une matrice V. Inverse d’une matrice Chapitre 3 : Le modèle Economique I. Expose du modèle de Leontief II. Applications numériques - 1 - INTRODUCTION La théorie des matrices est une branche des mathématiques qui concerne l’étude des matrices. À l’origine, la théorie des matrices était considérée comme une branche secondaire de l’algèbre linéaire, mais s’agrandit pour bientôt couvrir des sujets relatifs à la théorie des graphes, à l’algèbre, à la combinaison et aux statistiques. En mathématique les matrices sont aussi des tableaux élémentaires (nombres, caractères) qui servent à interpréter en terme calculatoire, et donc opérationnel, les résultats théoriques de l’algèbre linéaire même de l’algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiantes des phénomènes linéaires utilisés des matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on a donné souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss. Bien que le calcul matriciel proprement dit n’apparaisse qu’au début XIX siècle les matrices, en tant que tableau de nombres, ont une longue histoire d’application à la résolution d’équation linéaire. Le texte chinois les neufs chapitres sur l’art mathématique est le premier exemple connu de l’utilisation de tableau pour résoudre des systèmes d’équation, introduisant le même concept de déterminant. En 1545, Girolamo Cardano fait connaitre cette méthode en Europe en publiant son Ars Magna. Le mathématicien japonais Seki KOwa utilise indépendamment les mêmes techniques pour résoudre des systèmes d’équations en 1683. Au Pays-Bas johan Witt représente des transformations géométriques à l’aide des tableaux dans son livre de 1659, Elemanta curvarum linéarum entre 1700et 1710, Leibniz montrent comme utiliser des tableaux pour noter des données ou des solutions, et expérimente plus de 50 systèmes de tableau à cet effet. En 1750, Gabriel caramer publie la règle qui porte son nom. EN 1850, le terme de - 2 - MATRIX (qui sera traduit par matrice et forge (sur la racine latine mater) par JAMES JOSEPH SILVESTER, qui le voit comme un objet donnant naissance à la famille de déterminants actuellement appelé mineurs, c’est-à-dire les déterminants des sous matrices obtenue en retirant des lignes des colonnes. Dans l’article de 1851, Sylvester précise : dans des articles antérieurs, j’ai appelé matrix un tableau rectangulaire de termes a partir desquels plusieurs systèmes de déterminants peuvent engendrés, comme issus des entrailles d’un parent commun. En 1854, Arthur Cayley publie un traité sur les transformations géométriques utilisant les matrices de façon beaucoup plus générale que tout ce qui a été fait avant lui. IL définit les opérations usuelles du calcul matriciel (addition, multiplication et division) et montre les propriétés d’associativité et distributivité de la multiplication. Jusque-là l’utilisation des matrices s’était essentiellement limitée au calcules déterminant ; cette approche abstraite des opérations sur la matrice et révolutionnaire. En 1858, Cayley publie son A Mémoire on the Théorie of matrice, dans lequel il énonce et démontre le théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices de format (2,2). Beaucoup de théorèmes ne sont d’ailleurs démontres au début pour de petites matrices : après Cauchy, Hamilton généralise le théorème aux matrices 4x4, et ce n’est qu’en 1898 que Frobenius, étudiant les formes bilinéaires, démontre le théorème en dimension quelconque. C’est aussi à la fin du XIX siècle que Wilhelm Jordan établit la méthode d’élimination de Gauss-Jordan (généralisant la méthode de Gauss pour les matrice échelonnées). Au début XX siècle le matrice occupé une place centrale en algèbre linéaire, en partie grâce au rôle quelle jouent dans la classification des système hyper complexes du siècle précèdent. Un mathématicien anglais du nom de Coulis est le premier, en 1913, à utiliser la notation moderne des crochets ou des parthes pour représenter les matrices, ainsi que la notation systématique d’une matrice - 3 - La formulation de la mécanique quantique au moyen de la mécanique matricielle, due à Heisenberg, Born et Gordan, amena à étude des matrices comportant un nombre infini de ligne et de colonne. Par la suite, Von Neumann précisa les fondements mathématiques de la mécanique, quantique, en remplaçant ces matrices par des opérateurs linéaires sur des espaces de Hilbert. Des faits, il existe plusieurs portes d’entrée au calcule matricielle. Dans un cours de mathématique supérieurs, les matrice sont présentées comme des outils d’application linéaire. Ce n’est pas l’approche la plus inutile. Aussi, après une très brève introduction théorie prendront-nous un sujet d’examen assez concret pour rendre plus digeste cette présentation. Soit l’application d’un espace vectoriel E sur un autre (ou dans lui-même). Ces deux espaces ont bien sur chacun leur base. L’ensemble du scalaire qui permet de passer d’une base à l’autre s’appelle une matrice. C’est une sorte de tableau présenté entre parenthèses, toujours dénomme d’une lettre majuscule, de n colonnes et de m lignes. On dit qu’elle est de format ( ) , m n - 4 - Chapitre 1 : Matrices I. Espace vectoriel des matrices Soit K un corps, on appelle espace vectoriel à gauche sur K (ou K - espace vectoriel) un ensemble E muni de deux lois de composition : Une loi de composition interne, addition vectorielle notée par rapport à la quelle E est un groupe abélien : — ( ) ( ) , , , x y z E x y z x y z   + + = + + (Associativité) — , , x y E x y y x   + = + (Commutativité) — 0 , ,0 0 E x E x x x   + = + = (Elément neutre) — ( ) ( ) ( ) , , 0 x E x E x x x x  −  + − = − + = Une loi de composition externe notée : ( ) : , . K E E a x a x ax  → = Telle que : — ( ) , , , . a K x y E a x y ax ay    + = + — ( ) , , , . a b K x E a b x ax bx    + = + — ( ) ( ) , , , . a b K x E ab x a bx    = — ,1. x E x x  = De façon analogue on peut définir un K -espace vectoriel à droite Application linéaire Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps, on appelle application linéaire de E dans F , toute application : f E F → telle que : — ( ) ( ) ( ) , , x y E f x y f x f y   + = + — ( ) ( ) , , x E a K f ax af x   = Matrice associée à une application linéaire Soit : f E F → une application linéaire,   1 2 , ,..., n B e e e = une base de E ,   , , , 1 2 ' , ,..., m B e e e = une base de F (dim ,dim E n F m = = ). - 5 - Les vecteurs ( ) ( ) ( ) 1 2 , ,..., n f uploads/Geographie/ espaces-vectoriels-des-matrices-final-djadje 1 .pdf