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1 exercices, dioptres sphériques et lentilles Exercices, dioptres sphériques et

1 exercices, dioptres sphériques et lentilles Exercices, dioptres sphériques et lentilles 1. Lentille demi-boule Considérons une lentille demi-boule de centre O, de sommet S, de rayon R OS 5 cm = = , et d'indice N 1 ,5 = , plongée dans l'air d'indice n 1 = . 1.1. Dans l'approximation de Gauss, déterminez la position du foyer image F′ de cette lentille. 1.2. La lentille est éclairée par des rayons parallèles à l'axe optique OS, à la distance R 2 de celui-ci. Le foyer image G′ de ces rayons ne coïncide plus avec F′ . Déterminez l'aberration de sphéricité G F ′ ′ . solution 2. Lentille boule On rappelle la relation de conjugaison et l'expression du grandissement du dioptre sphérique avec origine au centre dans l'approximation de Gauss, pour le couple de point BB' : n n' n n' CB' CB CS − − = , CB' CB γ = . S est le sommet du dioptre, C son centre. n est l'indice du milieu à gauche du dioptre et n' l'indice à droite. La lumière se propage de la gauche vers la droite. La lentille étudiée est une boule de verre de rayon R et d’indice N, plongé dans l'air d'indice égale à 1. On veut montrer dans l’approximation de Gauss qu’elle est équivalente à une lentille mince. 2.1. Déterminez la relation de conjugaison de cette lentille boule et en déduire sa distance focale image f ' en fonction de R et N. 2.2. Donnez en la démontrant, l’expression du grandissement γ de cette lentille. On veut maintenant retrouver l’expression de f ' directement à partir des lois de Descartes, toujours dans l’approximation de Gauss. On suppose donc H et 2 S confondus et on identifie la tangente et le sinus d’un angle à cet angle. 1 S 2 S O A A’ N O S N exercices, dioptres sphériques et lentilles 2 2.3. Déterminer les angles du triangle OJF’ en fonction de N et r. 2.4. Déterminer la distance HF’ en fonction de R et N, puis la distance focale f ' OF' = toujours en fonction de R et N. Comparer avec le résultat obtenu à la question 2.1.. solution 3. Constructions géométriques Construire les images des objets AB en utilisant la convention suivante : traits pleins pour les rayons lumineux réels, traits pointillés pour les rayons lumineux virtuels. La lumière se propage de la gauche vers la droite. solution 4. Lentille mince convergente 4.1. Formation d’une image réelle. L’objet AB est situé à gauche du foyer objet. - Quelles sont les caractéristiques de l’image A’B’ ? Connaissez-vous une application courante d’un tel dispositif ? - Comment obtenir une image plus proche de la lentille ? Plus grande ? - La distance objet/écran D étant fixée, comment doit-on choisir la distance focale f′ de la lentille pour que l’image de l’objet soit nette sur l’écran ? Pour f′ donnée, combien y a-t-il de positions possibles pour la lentille ? 4.2. Distance focale. On obtient l’image A’ d’un point A par un dioptre sphérique de sommet S et de centre C, séparant deux milieux d’indices n (à gauche) et n’ (à droite) par la relation : n' n n' n SA ' SA SC − − = . Une lentille mince convergente est formée de l’association de deux dioptres sphériques de rayons 1 R et 2 R . En utilisant la relation précédente, et le fait que la lentille soit mince, trouver l’expression de la distance focale f′ en fonction de l'indice N de la lentille et des rayons 1 R et 2 R . 4.3. Loupe. Rappeler le principe de fonctionnement d’une loupe. En déduire comment reconnaître facilement une lentille convergente. Définir le grossissement et la puissance de la loupe. solution 5. Association de deux lentilles 5.1. Association de deux lentilles convergente. Approche géométrique F’ i r r i O I J H O A B F F’ F’ A B F O 3 exercices, dioptres sphériques et lentilles - Construire géométriquement l'image A'B' de l'objet AB ( de hauteur l = 1 cm et placé à 4 cm devant 1 O ) à travers le système optique décrit sur la Figure, où 1 2 f ' 2f ' 8cm = = et 1 2 O O 4cm = . Utilisation des formules de conjugaison - Reprendre la même démarche mais par le calcul. Grandissement du montage - Exprimer le grandissement de ce montage. 5.2. Association d'une lentille divergente et d'une lentille convergente accolée Approche géométrique - Construire géométriquement l'image A'B' de l'objet AB (placé à 16 cm devant 1 O ) à travers le système optique décrit sur la figure, où 1 2 f ' 2f ' 8cm = − = − et 1 2 O O 0cm = . Utilisation des formules de conjugaison - Reprendre la même démarche mais par le calcul. Grandissement du montage - Exprimer le grandissement de ce montage. solution 6. Aberrations chromatiques, principe d’un achromat On dispose de deux verres dont les indices sont donnés par le tableau suivant pour trois longueurs d’ondes particulières. Dans le crown B. 1864, on taille une lentille mince biconvexe de diamètre D = 8 cm. Les rayons de courbures des faces sont 1 R 30cm = et 1 R ' 1 ,8m = . 6.1. Calculer (à l’aide du résultat 4.2.) la distance focale 1 f′ de cette lentille pour chacune des trois longueurs d’ondes du tableau. 6.2. Un faisceau de lumière blanche, cylindrique, parallèle à l’axe optique de la lentille, recouvre toute la face d’entrée. Qu’observe-t-on sur un écran placé au voisinage du foyer image "moyen" de la lentille ? Evaluer la dimension minimale de la tache observée. λ Crown B. 1864 Flint C. 8132 656,3 nm 1,51552 1,67482 587,6 nm 1,51800 1,68100 486,1 nm 1,52355 1,69607 1 O 2 O A B 2 1 F ' F ' 1 L 2 L 1 O 2 O A B 1 F ' 2 F ' 2 F 1 L 2 L exercices, dioptres sphériques et lentilles 4 6.3. On veut réaliser un doublet achromatique en accolant à 1 L une lentille mince 2 L réalisée en flint C. 8132, de sorte que la distance focale du doublet ainsi constitué soit la même pour les deux longueurs d’onde extrêmes du tableau. Comment doit-on choisir 2 L ? Calculer sa distance focale ainsi que celle du doublet. 6.4. Les faces en regard des deux lentilles ont le même rayon de courbure, soit 1,8 m. Calculer le rayon de courbure de l’autre face de 2 L . Solution solutions S 1 1.1. Dans l'approximation de Gauss, la relation de conjugaison d'un dioptre sphérique avec origine au sommet s'écrit : ( ) n n n n SA SA SC ′ − ′ − = ′ . S est le sommet du dioptre, C son centre. n est l'indice du milieu à gauche du dioptre et n' l'indice à droite. La lumière se propage de la gauche vers la droite. Dans notre cas, A est à l'infini. On en déduit : 1 SF R N 1 ′ = − et : N OF R N 1 ′ = − . Application : OF 15cm ′ = . 1.2. Dans le triangle OIH : HI tani OH = . Dans le triangle G'HI : ( ) HI tan r i HG − = ′ . r-i r i i H O S G' I R 2 5 exercices, dioptres sphériques et lentilles Donc : ( ) HI HI OG OH HG tani tan r i ′ ′ = + = + − . Mais HI R 2 = et : ( ) R 1 1 OG 2 tani tan r i   ′ = +     −   . Application : Puisque sini 1 2 = et D'après Descartes sinr nsini = , on déduit i 30 = ° et r 48,59 = °. Puis : OG 11 ,8 cm ′ = . l'aberration de sphéricité est : G F OF OG ′ ′ ′ ′ = − . D'où : G F 3,2 cm ′ ′ = . retour énoncé S 2 2.1. L'image 0 A de A par le premier dioptre sphérique de sommet 1 S est donnée par la relation de conjugaison avec origine au centre : 0 1 1 N 1 N 1 N R OA OA OS − − − = = − . L'image A' de 0 A par le deuxième dioptre sphérique de sommet 2 S est donnée par la relation de conjugaison avec origine au centre : 0 2 N 1 N 1 N 1 R OA OA OS − − − = = ′ . En sommant membres à membres ces deux relations, on obtient la relation de conjugaison d'une lentille mince : ( ) 2 N 1 1 1 NR OA OA − − = ′ . La distance focale image est donc : ( ) NR f 2 N 1 ′ uploads/Geographie/ ex-dioptres-lentilles.pdf