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1 Mécanique des fluides Khamlichi Abdellatif Chapitre 3 Analyse dimensionnelle

1 Mécanique des fluides Khamlichi Abdellatif Chapitre 3 Analyse dimensionnelle et similitude Filière Génie Civil 2 Plan • Similitude • Similitude géométrique • Unités physiques du système international • Nombres adimensionnels • Similitude en physique: un exemple • Similitude en physique: quelques leçons à tirer • Méthode de Rayleigh • Théorème de Vaschy-Buckingham • Exemple d’application: calcul de la force de traînée • Exemple d’application: loi de Manning-Strickler • Similitude en ingénierie • Similitude en hydraulique • Synthèse • L’ONERA (France) 3 1 Similitude Une théorie utile pour: - proposer des nombres adimensionnels; - simplifier les équations; - diminuer le nombre de paramètres pertinents pour l’étude d'un phénomène; - établir les critères de similitude entre des phénomènes à différentes échelles. 4 Modèle réduit Problème réel 2 Similitude géométrique: modèles réduits 5 2 Similitude géométrique: problématique Que se passe-t-il quand une avalanche entre dans un lac d'accumulation? 6 2 Similitude géométrique: problématique 7 2 Similitude géométrique: transformation isomorphe Les triangles sont similaires géométriquement si : avec λ le rapport de similitude, le facteur d’échelle, ou l’échelle. On parle de transformation isomorphe. a b c a b c ′ ′ ′ λ= = = 8 2 Similitude géométrique: transformation affine Généralisation: une transformation affine conserve les rapports de longueur, avec des rapports différents selon les axes avec λx et λy les rapports selon l'horizontale et la verticale. x y a b , a b ′ ′ λ = λ = 9 2 Similitude géométrique: invariant Lors d'une transformation affine, certaines quantités sont conservées. On parle d'invariant. Par exemple le rapport de la surface S et du produit des demis axes : D'autres quantités ne le sont pas. Par exemple le périmètre: S S ab a b ′ ζ= = =π ′ ′ /2 2 2 2 2 0 P 4 a sin b cos d π = θ+ θ θ ∫ 10 2 Similitude géométrique: loi d’échelle Pourquoi certaines quantités se conservent et d'autres non? On parle de loi d’échelle pour définir la relation de proportionnalité entre une certaine grandeur et l’échelle (ici géométrique) du problème: - le périmètre , - la surface , - le volume , avec une échelle caractéristique de l'objet. P ∝ℓ 2 S∝ℓ 3 V ∝ℓ ℓ 11 2 Similitude géométrique: loi d’échelle Dans le cas de la transformation cercle (rayon a = b) ellipse /2 /2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 0 0 P 4 a sin b cos d 4a sin cos d π π ′ ′ ′ = θ+ θ θ= λ θ+λ θ θ ∫ ∫ → En introduisant r =λx/λy et P = 2πa, on peut écrire ( ) ( ) /2 2 2 2 2 x x x y 0 2 2 P r sin cos d E 1 r f , P π ′ λ λ = θ+ θ θ= − = λ λ π π ∫ avec E une fonction spéciale dite intégrale elliptique complète. Le périmètre P’ est donc proportionnel à P via un coefficient f qui dépend des deux paramètres d’échelle λx et λy. La théorie de la similitude cherche à prédéterminer les dépendances entre variables et échelle(s) du problème. 12 3 Unités physiques du système international Unités fondamentales On utilise les unités du système international (SI) ou système métrique décimal. Ce système repose sur 7 unités fondamentales : longueur: le mètre [m] ; masse: le kilogramme [kg] ; temps: la seconde [s] intensité électrique: l'ampère [A] ; température: le kelvin [K] ; intensité lumineuse: le candela [cd] ; quantité de matière: la mole [mol]. 13 3 Unités physiques du système international Symboles usuels des mesures Chaque mesure est associée à un symbole, dont la typographie a été fixée: force: le newton [N] (1 N = 1 kg.m/s2) ; pression: le pascal [Pa] (1 Pa = 1 kg/m/s2) ; vitesse: [m/s] ; masse volumique: [kg/m3] ; accélération: [m/s2] ; surface: [m2] ; débit: [m3/s] ; énergie: le joule (1 J = 1 kg.m2/s2) ; puissance: le watt (1 W = 1 kg.m2/s3). 14 3 Unités physiques du système international Comment retrouver les unités physiques fondamentales? Pour décomposer une unité physique quelconque en unités fondamentales, il suffit de revenir à sa définition. Prenons l'exemple du joule; le joule sert comme unité pour l’énergie et le travail. Le travail d'une force, c'est une force multipliée par une distance, donc on a : travail = force x longueur = N.m = (kg.m/s2).m = kg.m2/s2 15 4 Nombres adimensionnels: le nombre de Reynolds Le nombre de Reynolds est défini comme: avec une échelle de longueur, v une échelle de vitesse, µ la viscosité dynamique du fluide et ρ sa masse volumique. Le nombre de Reynolds est le plus souvent interprété comme le rapport des forces d'inertie sur les forces de viscosité. Il sert notamment à classer le régime d’écoulement en distinguant : - les écoulements laminaires ( ) ; - les écoulements turbulents ( ). v v Re ρ = = µ ν ℓ ℓ ℓ Re 1 ≪ Re 1 ≫ 16 4 Nombres adimensionnels: le nombre de Stokes Le nombre de Stokes est défini comme: avec tp le temps de relaxation de la particule (le temps typique de variation de la vitesse quand on perturbe l’état d’équilibre de la particule) et tf le temps caractéristique du fluide (l’échelle de temps sur laquelle le fluide s'ajuste à tout changement de la particule). Ce nombre sert à quantifie le couplage entre phases dans les suspensions: • St<<1 : la phase solide est entièrement gouvernée par la phase fluide; • St>>1 : les deux phases sont découplées. p f t St t = 17 4 Nombres adimensionnels: le nombre de Froude Le nombre de Froude est défini comme: avec h une échelle de hauteur, v une échelle de vitesse, g l'accélération de la gravité. Le nombre de Froude est le plus souvent interprétée comme le rapport de l’énergie cinétique sur l’énergie potentielle. Il sert notamment en hydraulique à classer le régime d’écoulement en distinguant : • Fr > 1: les écoulements supercritiques (appelés aussi torrentiels) ; • Fr < 1 : les écoulements subcritiques (appelés aussi fluviaux). v Fr gh = 18 4 Nombres adimensionnels: le nombre de capillarité Le nombre de capillarité est défini comme: avec v une échelle de vitesse, µ la viscosité dynamique du fluide, et γ la tension de surface. Ce nombre sert à évaluer les effets de tension de surface, par exemple lorsqu'on étale un fluide ou bien dans un milieu poreux : • Ca<<1, les effets de tension l'emportent sur les forces visqueuses; • Ca>>1, la viscosité est tellement grande que les effets de tension de surface à l'interface sont négligeables. v Ca µ = γ 19 4 Nombres adimensionnels: le nombre de capillarité Le nombre de Bond et de Weber sont également des variantes courantes du nombre de capillarité. - Nombre de Bond : rapport des effets de gravité et de la tension superficielle - Nombre de Weber: rapport des effets inertiels et de la tension superficielle 2 gL Bo ρ = γ http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/DimensionlessParameters.html 2 v L We ρ = γ 20 4 Nombres adimensionnels: interprétation physique Tout nombre sans dimension peut être interprété comme un rapport soit de longueurs, soit de forces (contraintes), soit de temps, par exemple: On peut également, dans le cas particulier du nombre de Reynolds, interpréter le nombre sans dimension comme un rapport de temps caractéristiques: avec le temps de relaxation de la particule ou de la structure turbulente (temps représentatif mis par la particule pour parcourir une distance égale à son diamètre) et un temps caractéristique de diffusion de la turbulence. 2 v v Re v/ ρ ρ = = µ µ ℓ ℓ 2 turb ec t v / Re /v t ρ ν = = = µ ℓ ℓ ℓ ec t /v =ℓ 2 turb t / = ν ℓ 21 4 Nombres adimensionnels: interprétation physique On peut montrer qu'il s'agit aussi d'un rapport de longueurs caractéristiques: avec la longueur caractéristique de la particule et la taille caractéristique des tourbillons de la turbulence. Les échelles sont en général des grandeurs macroscopiques caractérisant le système étudié. Par exemple, on parle de nombre de Reynolds macroscopique ou bien de nombre de Reynolds de l’écoulement. Si maintenant dans cet écoulement, on étudie la sédimentation de particules fines de rayon moyen a, on introduit un nombre de Reynolds local appelé encore nombre de Reynolds particulaire: Re = usa/ν, avec us la vitesse de sédimentation. part turb v Re /v ρ = = = µ ν ℓ ℓ ℓ ℓ turb /v =ν ℓ part = ℓ ℓ 22 4 Similitude physique: un exemple Un problème similaire aux transformations affines en géométrie... si ce n'est que l'on travaille avec des unités physiques. gsin 0 θ+ θ= ɺɺ ℓ 23 5 Similitude physique: un exemple • Variables du problème: θ [-], longueur [m], temps t [s]. • Echelles du problème: [-], uploads/Geographie/ mecaflu-cours3.pdf