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Masters PTR Module : Probabilités et Statistique Exercices - chapitre 2: Variab

Masters PTR Module : Probabilités et Statistique Exercices - chapitre 2: Variables aléatoires Prof. Mohamed El Merouani Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de Mathématiques 2020/2021 Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Probabilit´ tés 2020/2021 1 / 7 Chapitre 2 : Variables aléatoires Exercices du chapitre 2 Exercices : Exercice 1 : Calculer l’espérance mathématique E(X) et la variance V ar(X) de la variable aléatoire X, dans les cas suivants : 1 X suit une loi binomiale de paramètres n et p. 2 X suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. 3 X suit une loi géométrique de paramètre p. 4 X suit une loi uniforme "continue", U[a, b]. 5 X suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0. 6 X suit une loi Normale N(0, 1). 7 X suit une loi Normale N(m, σ) Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Probabilit´ tés 2020/2021 2 / 7 Chapitre 2 : Variables aléatoires Exercices du chapitre 2 Exercices : Exercice 2 : Soient X et Y deux variables aléatoires, telle que Y = X2. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant : x −2 −1 0 1 2 P(X = x) 1 6 1 4 1 6 1 4 1 6 1 Déterminer la loi de Y . 2 Déterminer la loi conjointe de X et Y et la loi marginale de Y 3 Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Probabilit´ tés 2020/2021 3 / 7 Chapitre 2 : Variables aléatoires Exercices du chapitre 2 Exercices : Exercice 3 : On lance trois fois successives, de façon indépendante, une pièce de monnaie symétrique. On gagne 2DH pour chaque face obtenue et on perd 1DH pour chaque pile obtenue. On note X la variable aléatoire donnant les diﬀérents gains obtenus possibles. 1 Chercher la loi de probabilité de X. 2 Chercher la fonction de répartition F de X (et construire son graphe). 3 Calculer l’espérance mathématique de X et sa variance. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Probabilit´ tés 2020/2021 4 / 7 Chapitre 2 : Variables aléatoires Exercices du chapitre 2 Exercices : Exercice 4 : Soit la fonction : f(x) = k(3 −x) si 0 ≤x ≤3 0 sinon Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité. Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire possédant cette fonction comme densité de probabilité. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Probabilit´ tés 2020/2021 5 / 7 Chapitre 2 : Variables aléatoires Exercices du chapitre 2 Exercices : Exercice 5 : Un joueur a une chance sur trois de gagner une partie. Il joue cinq parties. 1 Calculer la probabilité de chacun de ces évènements : a) le joueur gagne trois parties ; b) il gagne cinq parties ; c) il gagne au plus une partie ; d) il gagne au moins deux parties. 2 Chercher le nombre moyen de parties gagnées. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Probabilit´ tés 2020/2021 6 / 7 Chapitre 2 : Variables aléatoires Exercices du chapitre 2 Exercices : Exercice 6 : Le poids, en Kg, des individus d’une population suit une loi Normale N(65Kg, 6Kg). 1 Donner la probabilité qu’un individu de cette population pèse plus de 68Kg. 2 De cette population, on choisit au hasard 4 personnes. Quelle est la probabilité que parmi ces 4 personnes, il y a au moins 2 personnes qui ont un poids supérieur à 68Kg. Prof. Mohamed El Merouani (Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de M Probabilit´ tés 2020/2021 7 / 7 uploads/Geographie/ exercices-v-a.pdf