Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Exercices rédigés sur les probabilités discrètes Page 1 G. COSTANTINI http://ba

Exercices rédigés sur les probabilités discrètes Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ EXERCICES CORRIGÉS SUR LES PROBABILITÉS DISCRÈTES Exercice 1 Variables aléatoires et arbres Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir la vente de ces tablette, il décide d’offrir des places de cinéma dans la moitié des tablettes mises en vente. Parmi les tablettes gagnantes, 60% permettent de gagner exactement une place de cinéma et 40% exactement deux places de cinéma. On note PB(A) la probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé. 1. Un client achète une tablette de chocolat. On considère les événements suivants : G = "le client achète une tablette gagnante" U = "le client gagne exactement une place de cinéma" D = "le client gagne exactement deux places de cinéma" a) Donner P(G), PG(U) et PG(D) b) Montrer que la probabilité de gagner exactement une place de cinéma est égale à 0,3. c) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de places de cinéma gagnées par le client. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique de X. 2. Un autre client achète deux jours de suite une tablette de chocolat. a) Déterminer la probabilité qu'il ne gagne aucune place de cinéma. b) Déterminer la probabilité qu'il gagne au moins une place de cinéma. c) Montrer que la probabilité qu'il gagne exactement deux places de cinéma est égale à 0,29. Exercice 2 Détermination de la composition d'une urne pour obtenir une espérance de gain souhaitée On considère une urne contenant trois boules jaunes, deux boules bleues, une boule rouge et quatre boules vertes. Ces boules sont indiscernables au toucher. On tire, au hasard, une boule de l'urne. 1. Calculer la probabilité des événements suivants : J = "tirer une boule jaune" B = "tirer une boule bleue" R = "tirer une boule rouge" V = "tirer une boule verte" 2. En fonction de la couleur tirée, on se voit attribuer une somme d'argent selon la convention suivante : si la boule tirée est : • rouge, on gagne 10 € • verte, on gagne 2 € • jaune ou bleue, on gagne 3 € Soit X la variable aléatoire qui associe, à chaque tirage le gain réalisé. a. Déduire de la question 1) : P(X = 2), P(X = 3) et P(X = 10). b. Calculer l'espérance mathématique de X, sa variance puis son écart–type. (On arrondira l'écart-type à 10–2) 3. Maintenant, on gagne toujours 10 € si la boule tirée est rouge, 2 € si elle est verte mais on gagne 3 € si elle est jaune et m € si elle est bleue ; m désignant un réel positif. Calculer m pour que le gain moyen espéré soit de 4,5 €. Exercices rédigés sur les probabilités discrètes Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice 3 Problème de déconditionnement Un grossiste en appareils ménagers est approvisionné par trois marques, notées respectivement M1, M2 et M3. La moitié des appareils de son stock provient de M1, un huitième de M2, et trois huitièmes de M3. Ce grossiste sait que dans son stock, 13% des appareils de la marque M1 sont rouge, que 5% des appareils de la marque M2 sont rouges et que 10% des appareils de la marque M3 le sont aussi. On choisit au hasard un appareil emballé dans le stock de ce grossiste : (on donnera les résultats sous forme de fractions) 1. Quelle est la probabilité qu'il vienne de M3 ? 2. Quelle est la probabilité qu'il soit rouge sachant qu'il vienne de M2 ? 3. Quelle est la probabilité que l'appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ? 4. Après examen, on s'aperçoit que l'appareil choisi est rouge. Quelle est la probabilité qu'il soit de la marque M1 ? Exercice 4 Probabilités conditionnelles et suite arithmético-géométrique Un fumeur essaye de réduire sa consommation. On admet qu'il fonctionne toujours suivant les conditions : • C1 : S'il reste un jour sans fumer, alors il fume le lendemain avec une probabilité de 0,4. • C2 : Par contre, s'il cède et fume un jour, alors la probabilité qu'il fume le lendemain est de 0,2. On note pn la probabilité qu'il fume le nème jour. Déterminer la limite de pn. Conclusion ? Exercice 5 Loi de l'équilibre génétique lors de l'appariements au hasard - Loi de Hardy-Weinberg Certains gènes peuvent avoir deux états : A (allèle dominant) ou a (allèle récessif). Les couples de gènes sur des paires de chromosomes n'ayant pas forcément les mêmes allèles, un individu donné peut avoir l'un des trois génotypes suivants : AA ou Aa ou aa Lors d'un appariement entre deux individus, l'enfant récupère un allèle de chacun de ses deux parents. Exemples : • si un parent a le génotype AA et l'autre Aa, l'enfant sera du type AA ou Aa avec des probabilités égales à 1 2 . • si un parent a le génotype Aa et l'autre Aa, l'enfant sera du type AA ou Aa ou aa avec des probabilités égales à 1 4 , 1 2 , 1 4 respectivement. On note pn, qn et rn les proportions des génotypes AA, Aa, aa de la génération n. 1. À l'aide d'un arbre ou d'un tableau à deux entrées, faire apparaître tous les cas possibles d'appariements et les génotypes de l'enfant qui en découlent. 2. En déduire les proportions pn+1, rn+1 puis qn+1 en fonction de pn, qn et rn. 3. On note α = p0 − r0. a) Montrer que pour tout n ∈  : pn − rn = α b) En déduire, pour tout n ∈ , une expression de pn+1, rn+1 puis qn+1 en fonction du seul paramètre α. En déduire que pour n  1, les suites (pn), (qn) et (rn) sont constantes. Ce résultat est connu sous le nom de "loi de l'équilibre génétique de Hardy-Weinberg". Ainsi, quelles que soient les proportions initiales des trois génotypes, la répartition est stabilisée dès la génération suivante. Exercices rédigés sur les probabilités discrètes Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice 6 Variables aléatoires et dénombrement Un marchand de glaces propose dix parfums au choix pour des glaces en cornet. Trois élèves choisissent, au hasard et indépendamment l'un de l'autre, un des parfums proposés. 1. Calculer la probabilité de l'événement A : "les trois élèves choisissent des parfums deux à deux distincts" 2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parfums choisis par les trois élèves. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer son espérance mathématique. Interpréter. Exercice 7 Sur la double partition d'une population. Différents cas de figure On considère une population Ω. Sur chaque individu de cette population, on étudie deux caractères A et B. On peut schématiser cette situation à l'aide du diagramme suivant : Autre représentation possible à l'aide d'un arbre : Beaucoup de situations, en probabilités, se modélisent par une double partition. Démontrer que la connaissance de 3 probabilités parmi les suivantes permet de déterminer toutes les autres : P(A), P(B), PA(B), ( ) A P B , PB(A), ( ) B P A Exercice 8 Loi hypergéométrique, loi de Bernoulli, loi binomiale 1. Une grande enveloppe contient les douze "figures" d'un jeu de carte : les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets. On tire, simultanément et au hasard, cinq cartes de l'enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de rois obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. Interpréter. 2. Dans la même enveloppe contenant les mêmes douze cartes, on effectue successivement cinq fois le tirage d'une carte que l'on remet à chaque fois dans l'enveloppe. Soit Y la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de rois obtenus au cours des cinq tirages. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer son espérance mathématique. Interpréter. Population A A B B B P(A) A ( ) P A Ω A ( ) A P B ( ) A P B ( ) A P B PA(B) B B Elle n'a pas une belle tête cette figure ? Exercices rédigés sur les probabilités discrètes Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice 9 Notion d'indépendance - Utilisation d'un arbre. Une urne U1 contient trois boules noires et sept boules blanches. Une urne U2 contient cinq boules noires et cinq boules blanches. On choisit une urne au hasard (équiprobablement) et on tire successivement deux boules, avec remise, dans l'urne choisie. On note : B1 l'événement "obtenir une boule blanche au premier tirage" B2 l'événement "obtenir une boule blanche au second tirage" Les événements B1 et B2 sont-ils indépendants ? Exercice 10 Dénombrement - Loi binomiale Un fournisseur livre deux catégories de câbles C1 et C2. Dans chaque livraison figurent 20% de câbles C1 et 80% de câbles C2. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Dans cette partie, aucun calcul approché n'est demandé. On prélève, au hasard, 4 câbles dans une livraison de 50 câbles. 1) Préciser la probabilité de l'événement E uploads/Geographie/ exprobas-d04.pdf