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Géométrie Plane 2015 Soient les points G(6;−1), H(−12;−1), I(−12;13) et J(6;13)

Géométrie Plane 2015 Soient les points G(6;−1), H(−12;−1), I(−12;13) et J(6;13). Déterminer les coordonnées du milieu O du segment [GI] et du milieu P du segment [HJ]. Démontrer que le quadrilatère GHIJ est un rectangle. EXERCICE 1 Soient les points G(6;−1), H(−12;−1), I(−12;13) et J(6;13). xO = xG + xI 2 = 6 + (−12) 2 = −6 2 = −3 yO = yG + yI 2 = −1 + (13) 2 = 12 2 = 6 Ainsi le milieu du segment [GI] est O(−3;6) xP = xH + xJ 2 = −12 + (6) 2 = −6 2 = −3 yP = yH + yJ 2 = −1 + (13) 2 = 12 2 = 6 Ainsi le milieu du segment [HJ] est P(−3;6) GI = √ (xI −xG)2 + (yI −yG)2 = √ (−12 −(6))2 + (13 −(−1))2 = √ (−18)2 + (14)2 = √ 520 = 2 √ 130 HJ = √ (xJ −xH)2 + (yJ −yH)2 = √ (6 −(−12))2 + (13 −(−1))2 = √ (18)2 + (14)2 = √ 520 = 2 √ 130 Comme les diagonales ont même longueur puisque GI = HJ, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque O = P on en conclut que GHIJ est un rectangle. Soient les points U(0;1), V(−10;5), W(−12;1) et X(−2;−3). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [UW] et du milieu B du segment [VX]. Démontrer que le quadrilatère UVWX est un parallélogramme. EXERCICE 2 Soient les points U(0;1), V(−10;5), W(−12;1) et X(−2;−3). xA = xU + xW 2 = 0 + (−12) 2 = −12 2 = −6 yA = yU + yW 2 = 1 + (1) 2 = 2 2 = 1 Ainsi le milieu du segment [UW] est A(−6;1) 1 xB = xV + xX 2 = −10 + (−2) 2 = −12 2 = −6 yB = yV + yX 2 = 5 + (−3) 2 = 2 2 = 1 Ainsi le milieu du segment [VX] est B(−6;1) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque A = B on en conclut que UVWX est un parallélogramme. Soient les points E(−4;1), F(−6;13), G(6;15) et H(8;3). Déterminer les coordonnées du milieu M du segment [EG] et du milieu N du segment [FH]. Démontrer que le quadrilatère EFGH est un carré. EXERCICE 3 Soient les points E(−4;1), F(−6;13), G(6;15) et H(8;3). xM = xE + xG 2 = −4 + (6) 2 = 2 2 = 1 yM = yE + yG 2 = 1 + (15) 2 = 16 2 = 8 Ainsi le milieu du segment [EG] est M(1;8) xN = xF + xH 2 = −6 + (8) 2 = 2 2 = 1 yN = yF + yH 2 = 13 + (3) 2 = 16 2 = 8 Ainsi le milieu du segment [FH] est N(1;8) EF = √ (xF −xE)2 + (yF −yE)2 = √ (−6 −(−4))2 + (13 −(1))2 = √ (−2)2 + (12)2 = √ 148 = 2 √ 37 FG = √ (xG −xF)2 + (yG −yF)2 = √ (6 −(−6))2 + (15 −(13))2 = √ (12)2 + (2)2 = √ 148 = 2 √ 37 GH = √ (xH −xG)2 + (yH −yG)2 = √ (8 −(6))2 + (3 −(15))2 = √ (2)2 + (−12)2 = √ 148 = 2 √ 37 HE = √ (xE −xH)2 + (yE −yH)2 = √ (−4 −(8))2 + (1 −(3))2 = √ (−12)2 + (−2)2 = √ 148 = 2 √ 37 EG = √ (xG −xE)2 + (yG −yE)2 = √ (6 −(−4))2 + (15 −(1))2 = √ (10)2 + (14)2 = √ 296 = 2 √ 74 FH = √ (xH −xF)2 + (yH −yF)2 = √ (8 −(−6))2 + (3 −(13))2 = √ (14)2 + (−10)2 = √ 296 = 2 √ 74 Comme EF = FG = GH = HE, on en conclut que EFGH est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque EG = FH, on en conclut que EFGH est un carré. 2 Soient les points T(4;7), U(6;17), V(−15;16) et W(25;8). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [TU]. Démontrer que le quadrilatère TVUW est un losange. EXERCICE 4 Soient les points T(4;7), U(6;17), V(−15;16) et W(25;8). xA = xT + xU 2 = 4 + (6) 2 = 10 2 = 5 yA = yT + yU 2 = 7 + (17) 2 = 24 2 = 12 Ainsi le milieu du segment [TU] est A(5;12) TV = √ (xV −xT)2 + (yV −yT)2 = √ (−15 −(4))2 + (16 −(7))2 = √ (−19)2 + (9)2 = √ 442 VU = √ (xU −xV)2 + (yU −yV)2 = √ (6 −(−15))2 + (17 −(16))2 = √ (21)2 + (1)2 = √ 442 UW = √ (xW −xU)2 + (yW −yU)2 = √ (25 −(6))2 + (8 −(17))2 = √ (19)2 + (−9)2 = √ 442 WT = √ (xT −xW)2 + (yT −yW)2 = √ (4 −(25))2 + (7 −(8))2 = √ (−21)2 + (−1)2 = √ 442 Comme TV = VU = UW = WT, on en conclut que TVUW est un losange. Soient les points V(1;−9) , W(13;−15) et X(1;−15). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [VW]. Démontrer que le triangle VWX est rectangle en X. EXERCICE 5 Soient les points V(1;−9) , W(13;−15) et X(1;−15). xA = xV + xW 2 = 1 + (13) 2 = 14 2 = 7 yA = yV + yW 2 = −9 + (−15) 2 = −24 2 = −12 Ainsi le milieu du segment [VW] est A(7;−12) VX = √ (xX −xV)2 + (yX −yV)2 = √ (1 −(1))2 + (−15 −(−9))2 = √ (0)2 + (−6)2 = √ 36 = 6 XW = √ (xW −xX)2 + (yW −yX)2 = √ (13 −(1))2 + (−15 −(−15))2 = √ (12)2 + (0)2 = √ 144 = 12 3 VW = √ (xW −xV)2 + (yW −yV)2 = √ (13 −(1))2 + (−15 −(−9))2 = √ (12)2 + (−6)2 = √ 180 = 6 √ 5 VX2 + XW2 = 36 + 144 = 180 or VW2 = 180 ainsi VX2 + XW2 = VW2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle VWX est rectangle en X. Soient les points E(−8;−8) , F(−2;0) et G(3;−10). Déterminer les coordonnées du milieu L du segment [EF]. Démontrer que le triangle EFG est isocèle en G. EXERCICE 6 Soient les points E(−8;−8) , F(−2;0) et G(3;−10). xL = xE + xF 2 = −8 + (−2) 2 = −10 2 = −5 yL = yE + yF 2 = −8 + (0) 2 = −8 2 = −4 Ainsi le milieu du segment [EF] est L(−5;−4) EG = √ (xG −xE)2 + (yG −yE)2 = √ (3 −(−8))2 + (−10 −(−8))2 = √ (11)2 + (−2)2 = √ 125 = 5 √ 5 FG = √ (xG −xF)2 + (yG −yF)2 = √ (3 −(−2))2 + (−10 −(0))2 = √ (5)2 + (−10)2 = √ 125 = 5 √ 5 Ainsi EG = FG. Le triangle EFG est donc isocèle en G. 4 uploads/Geographie/ geometrie-enonce-sup-3735-avec-corrige.pdf