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thème exercices fonctions de référence 1 - 4 second degré 5 - 18 dérivation 19

thème exercices fonctions de référence 1 - 4 second degré 5 - 18 dérivation 19 - 29 ANALYSE suites numériques 30 - 44 trigonométrie 45 - 55 produit scalaire 56 - 65 GÉOMÉTRIE géométrie analytique 66 - 73 probabilités 74 - 88 statistiques 89 - 91 Fonctions de référence Exercice 1 Résoudre les (in)équations suivantes : a) |x| = −3 b) |x| ≤ 15 c) |x − 6| = 2 d) |3x + 9| = 5 e) |x − 3| > 2 1 Exercice 2 On considère une fonction f définie sur [ −3 ; 3 ] dont la représentation graphique est donnée ci-contre : Préciser l'ensemble de définition et représenter graphiquement chacune des fonctions définies ci-dessous : f1(x) = −f (x) f3(x) = f (x) + 1 f2(x) = | f (x)| f4(x) = f (x + 1) Exercice 3 Le but de l'exercice est de comparer les deux nombres 0000004 , 1 0000002 , 1 = A et 9999998 , 0 9999996 , 0 = B . 0) Que donne la calculatrice ? Qu'en pensez-vous ? 1) Soient f et g les fonctions définies par x x x f 4 1 2 1 ) ( + + = et x x x g 2 1 4 1 ) ( − − = . a) Quels sont les ensembles de définition Df et Dg des fonctions f et g ? b) Que valent f (10 −7) et g(10 −7) ? 2) Pour comparer les nombres A et B, on va comparer les fonctions f et g en étudiant le signe de la différence ϕ (x) = f (x) − g(x) . a) Démontrer que ) 2 1 )( 4 1 ( 12 ) ( 2 x x x x − + = ϕ . b) Résoudre l'inéquation ϕ (x) > 0 . c) En déduire le signe de ϕ (10 −7) et conclure. Exercice 4 Soient a et b deux réels positifs. 1) Développer ( ) 2 b a + . 2) a) Démontrer que b a b a + ≥ + . b) Démontrer que b a b a + = + si et seulement si a = 0 ou b = 0 . Second degré Exercice 5 Résoudre dans R l'inéquation (2x + 1)(5 − x) < (x − 5)(x + 4) . x f (x) 1 1 Exercice 6 Résoudre dans R l'équation 6x 4 − 5x 2 + 1 = 0 (on pourra poser X = x 2 ) Exercice 7 Résoudre dans R les inéquations suivantes : a) −2x 2 + 7x − 5 ≤ 0 b) 0 10 3 1 3 2 2 > − − + + x x x x c) 0 4 4 5 4 2 ≤ − + − x x x Exercice 8 Résoudre dans R les équations suivantes : a) 1 1 1 5 2 + − = − − x x x x b) 3 2 2 1 2 + = + + − x x x x Exercice 9 Résoudre dans R l'inéquation (x 2 + 2x − 4) 2 < 9 . Exercice 10 On considère les fonctions f et g définies sur R par f (x) = x 2 − 4x − 5 et g(x) = −2x 2 + 4x − 2 . 1) Déterminer la forme canonique de f (x) et de g(x). 2) Dresser le tableau de variation de f et de g . 3) On note ϕ la fonction définie sur R par ϕ (x) = f (x) − g(x) . a) Déterminer la forme canonique de ϕ (x). b) Factoriser ϕ (x). c) Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbes Cf et Cg représentatives de f et g. d) Étudier la position relative des courbes Cf et Cg. 4) Tracer les courbes Cf et Cg dans un repère orthonormé (O ;i , j ). Exercice 11 1) Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des entiers consécutifs et dont la somme des aires soit 15 125 ? Si oui, préciser les valeurs que doivent avoir les côtés. 2) Reprendre la question précédente avec une aire totale égale à 15 127. Exercice 12 On achète pour 77 € d'essence à une station-service. On s'aperçoit ensuite qu'à une autre station, le prix du litre est inférieur de 0,14 € : on aurait pu ainsi obtenir 5 litres de plus pour le même prix. Quel prix a-t-on payé le litre d'essence et quelle quantité en a-t-on acheté ? Exercice 13 Au fond d'un canyon coule une rivière. Du bord du surplomb rocheux, on laisse tomber une pierre et on chronomètre le temps écoulé entre le lâcher de la pierre et l'instant où l'on entend "plouf" : 4,5 secondes s'écoulent. Le but de l'exercice est de déterminer la profondeur p du canyon. La distance parcourue par la pierre en fonction du temps t est d = 2 1 gt 2 (g est l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre ; on prendra g = 10 m.s −2 ). La distance parcourue par le son en fonction du temps t est d = ct (c est la célérité du son dans l'air ; on prendra c = 320 m.s −1 ). 1) On note t1 le temps de chute de la pierre. Écrire une relation entre t1 et p. 2) On note t2 le temps de remontée du son. Écrire une relation entre t2 et p. 3) Exprimer t2 en fonction de t1. 4) Démontrer que t1 est solution de l'équation t 2 + 64t − 288 = 0 . 5) Résoudre cette équation et en déduire p. Exercice 14 Le trinôme du second degré P est défini sur R par ( ) 18 3 4 6 4 ) ( 2 + + − = x x x P . 1) Vérifier que 4 6 est une racine de P. 2) Déterminer la valeur exacte de l'autre racine de P. Exercice 15 Soient a et b deux réels fixés, avec a ≠ 0 . On considère l'équation (E ) : ax 2 + bx − a = 0 . Démontrer que l'équation (E ) possède deux solutions réelles qui sont de signes contraires. Exercice 16 Dans un repère (O ;i , j ), une parabole P admet pour équation y = ax 2 + bx + c (où a ≠ 0 ). 1) Déterminer les coefficients a, b et c sachant que P coupe l'axe des abscisses au point A d'abscisse 3 et l'axe des ordonnées au point B d'ordonnée 2, et que son sommet a pour abscisse 1. 2) Déterminer l'abscisse du second point d'intersection de P avec l'axe des abscisses. Exercice 17 On note f la fonction définie sur R par f (x) = −x 3 − 4x 2 + 27x + 90 . 1) Déterminer les réels a, b et c tels que f (x) = (x + 3)(ax 2 + bx + c) pour tout réel x. 2) En déduire les racines de f puis dresser son tableau de signe. Exercice 18 Résoudre dans R les systèmes suivants : a)    − = = + 35 2 xy y x b)    = = + 1 4 1 xy y x c)    = = + 14 35 2 2 xy y x Dérivation Exercice 19 Ci-contre est donnée la courbe Cf représentant une fonction f définie et dérivable sur [ 1 ; 8 ]. 1) Par lecture graphique, donner la valeur de : f (3) ; f '(3) ; f (6) ; f '(6) 2) Le graphique ne permet pas la lecture de f '(4). Préciser néanmoins son signe. Exercice 20 Dériver les fonctions définies ci dessous : 1) f (x) = 3x 4 − 2x 3 + 5x − 4      − = x x x g 1 1 ) ( 1 5 ) ( 2 + + = x x x h 2) f (x) = (2x 2 + 3)(3x 3 − 7) 2 1 3 4 2 ) (       − + = x x x g x x x x h + = ) ( Exercice 21 Soit f la fonction définie sur R \ { 1 } par 1 3 2 ) ( − + = x x x f . On note Cf sa représentation graphique. 1) Déterminer la dérivée f ' de f . 2) Soit A le point d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses. Calculer les coordonnées de A, puis déterminer une équation de la tangente (tA) à la courbe Cf en A. 3) Soit B le point d'intersection de Cf avec l'axe des ordonnées. Calculer les coordonnées de B , puis déterminer une équation de la tangente (tB ) à la courbe Cf en B . 4) Tracer dans un même repère (tA), (tB ) et Cf . 5) En combien de point(s) de Cf la tangente est-elle parallèle à uploads/Geographie/ cahier-de-vacances-maths-pour-terminale-s.pdf