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Les ma Une représenta Bibliothèque Tang e L'caventure nte&t:hé?ne&t:ique Tangente Hors-série n° 44 Les matrices une représenta1tion du monde ËDiTiONS POLE © Éditions POLE - Paris - Août 2012 - Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tout procédé, sur quelque support que ce soit, en tout pays, faites sans autorisation préalable, est illicite et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires (loi du 1] mars 1957). ISBN: 9782848841458 ISSN: 0987-0806 Commission paritaire: 1011K80883 ProchaineJDent dans la Bibliothèque Tangente ~r r, , rrrrrr r ~ ~DITIONS. POLE les Matrices Sommaire DOSSIER Matrix L'histoire des matrices Systèmes linéaires et transformations géométriques Les matrices, ce sont ces tableaux de nombres sur lesquels on peut définir des opérations naturelles. Ces objets algé- briques permettent de modéliser naturellement les sys- tèmes d'équations linéaires. Plus surprenant est leur rôle dans la description des transformations géométriques : les matrices leur ouvrent des horizons inattendus ! Espaces vectoriels : l'algèbre à l'assaut de la géométrie Des matrices pour transformer Le sens du déterminant Transformations affines et points invariants Systèmes linéaires et matrices Comment rentrer dans le rang Les nombres complexes comme ensemble de matrices Le théorème de Cayley-Hamilton Les fonctions homographiques Réduction de matrices ~·X·ti1i:J,I - ne matrice existe généralement sous différentes formes, ou plusieurs déguisements. Ainsi, pour pouvoir « lire » directement les propriétés d'une matrice, il est utile de chercher la forme« la plus simple » qu'elle peut revêtir. Le pivot de Gauss en est un bon exemple : la nouvelle forme de la matrice (triangulaire) permet une résolution immédiate d'un système linéaire. Diagonaliser pour calculer les puissances d'une matrice Le pivot de Gauss Similitude et diagonalisation Diagonalisation, géométrie et algèbre La trigonalisation Manipuler des matrices avec un tableur Hors série n°44 Les matrices l·X·f}1iM;I Les matrices sont partout ! Que l'on soit ou non mathématicien, les matrices nous envi- ronnent. La planète Neptune a d'abord été découverte sur le papier, grâce à un proto-calcul matriciel, avant d'être effec- tivement observée. L'économie, l'actuariat et la finance sont friandes de matrices. L'électronique, l'informatique et toutes les sciences ne peuvent s'en passer. Il est temps d'apprendre à reconnaître ces objets ! Agrandir les images sans perdre en qualité Partout en physique, des matrices La trilatération Les matrices actuarielles Les tableaux entrées - sorties en économie Matrices élémentaires en économie Matrices et codes secrets Les hommes préfèrent les grosses ... matrices Calculs matriciels en statistique multivariée Les matrices d'Hadamard Problèmes de géo-matrices l •X•f }1 i M ;I Des matrices et des jeux Un grand nombre de jeux font intervenir des tableaux de nombres. Ainsi, derrière chaque jeu de grille logique, chaque Sudoku, chaque carré magique se cache une matrice, souvent utile dans sa résolution. Mais les matrices se nichent parfois là où on ne les attend pas : dans les jeux littéraires, l'écriture sous contraintes les a depuis longtemps déjà mises à contribution. Les carrés magiques : des matrices comme les autres Divertissements littéraires Les matrices Sudokus Les matrices lumineuses du Lights Out Problèmes Les carrés magiques Solutions En bref Tangente - Hors série n°44 Les matrices ar Bertrand Hauchecorne Du conducteur au uecteur Les Romains possédaient déjà le mot vector. Issu du verbe vehere signifiant « transporter », il dési- gnait aussi bien le passager que le conducteur d'un bateau ou d'un chariot. Les mots français « véhi- cule »,« voiture » mais aussi « invective » proviennent de cette même racine latine. Au Moyen Âge et jusqu'à la Renaissance, le vec- teur est le conducteur d'un bateau ou d'un véhicule, mais ce mot tombe alors en désuétude. Il est repris au milieu du XVIIIe siècle par les astronomes sous forme d'adjectif. Ainsi, le tourbillon vecteur désigne le mouvement d'une planète et le rayon vecteur joint le centre du soleil à un point de l'orbite. En 1844, William Hamilton reprend ce mot pour désigner le vecteur (au sens actuel) joignant deux points . La formalisation des espaces vectoriels arrive à la fin du XIXe siècle avec Peano. Un vec- teur devient un élément de cette structure nouvelle. Ver 1900, « vecteur » apparaît parallèlement en médecine. Prenant un sens figuré du mot latin, il désigne les agents infec- tieux qui transmettent une maladie. On a pu entendre il y a peu que les oiseaux migrateurs sont le vecteur de la grippe aviaire. EN BREF De l'utérus à la matrice On doit à James Sylvester l'introduction en mathé- matique du mot matrice, ou plus exactement, en anglais, matrix. Ce terme, formé sur la latin mater signifiant « mère », désigne dès le XIIIe siècle l'utérus. Cependant, comme on enregistrait les enfants à la naissance, il désigne bientôt aussi le registre sur lequel on les inscrit. Ceci explique aussi les mots matricule, cher à l'armée, et imma- triculation, rendu populaire grâce à l'automobile. Avec les débuts de l'imprimerie, « matrice » désigne aussi le moule à imprimer sur lequel on place les caractères. On voit la ressemblance entre un tableau de nombres et une tablette de caractères. Cepen- dant, en introduisant ce terme, Sylvester joue sur les mots, puisqu'il use de cette ressemblance tout en se rattachant à l'étymologie du mot, comme en témoigne cette phrase écrite en 1851 : "/ have in a previous paper defined a « Matrix » as a rec- tangular array of terms, out of which differenl systems of determinants may be engendered, as from the womb of a common parent" (« J'ai défini dans un précédent article une matrice comme un tableau rectangulaire de termes, duquel peuvent être engendrés différents systèmes de déterminants comme sortis du ventre de la même mère »). Hors-série n• 44. Les matrices Tangente 5 PASSERELLES par Jean-Jacques Dupas Dans un monde futur, des machines élèvent des humains afin de capter leur énergie vitale. Elles soutirent un maximum d'énergie si les humains sont actifs plutôt que végétatifs. Alors elles les plongent dans un environnement simulé. Bienvenue dans la Matrice. L es habitants de la Terre croient vivre des vies normales. En fait, ils sont tous connectés à des machines. L'histoire du blockbuster The Matrix (Andy et Larry Wachowski, 1999, produit par Warner Bros. Pictures) raconte le combat d'une poignée d'humains déconnectés contre ces machines qui ont asservi les humains. Mais pourquoi ce nom de Matrix ? En anglais comme en fran- çais, le terme désigne aussi bien ( 'uté- rus féminin que l'objet mathématique (voir en pages précédentes). Dans le film, les humains vivent leur vie dans un utérus artificiel. En outre, toute simulation consiste essentiellement en des manipulations de matrices. Enfin, si le film est à la croisée de plusieurs thèmes classiques de la science-fiction (le combat contre les machines, le sau- Discrétisations et équations dijf érentielles se traduisent généralement par des manipulations de matrices. 6 Tangente Hors-série n° 44. Les matrices veur), il mêle également plusieurs thèmes classiques des religions : le bouddhisme (avec Néo en Éveillé), le christianisme (avec Trinity et Anderson, littéralement « le fils de l'homme »), le judaïsme (avec le thème messianique), la mythologie grecque (le personnage de Morpheus fait référence à Morphée, dieu des songes, un des mille fils du Sommeil, Hypnos), etc. De morphée à Platon Cette référence explicite au sommeil nous renvoie à la question : qu'est ce qui différentie un rêve de la réalité ? Comment notre cerveau s'y prend-il pour produire nos rêves et déconnecter nos muscles ? The Matrix est donc matriciel en diable. li tisse également plusieurs autres thèmes philosophiques ou scientifiques. Par exemple, celui des grandes simulations numériques, ou encore celui du mythe de la caverne de Platon. Dans celui-ci, des humains sont enchaînés dans une caverne, de telle sorte qu' ils ne peuvent voir que la paroi de leur antre. Sur celle-ci, ils n'aperçoivent que l'ombre du monde, qu'ils prennent pour le monde réel. On peut interpréter ce mythe en science par l'utilisation du modèle. Un modèle, c'est une vision réduite du monde réel, une projection. Il est régi par les lois de la physique, il permet d'expliquer, et il doit être prédictif. Les ingénieurs, les scientifiques contemplent les parois de leur caverne ! Mais le monde réel est souvent trop complexe pour être ainsi appréhendé. Un mathématicien peut aussi interpréter ce mythe par ! 'abstraction : croyant contempler des objets, il ne contemple que l'ombre d'objets plus abstraits. Cette montée en abstraction s'avère souvent riche. Dans The Matrix, le mythe de la caverne s' incarne grâce à une simulation. L' idée de simulation numérique n'a pu prendre corps qu'avec la montée en puissance des ordinateurs. Avant l'avènement de ces machines, pour tester un objet, il fallait le construire et pratiquer des tests in situ. Mais cette démarche a un coût ! L'idée alors est de le reconstituer sur une maquette numérique. On le discrétise (on le « découpe en petits morceaux » et on applique les lois de la physique sur ces petits morceaux, en résolvant la plupart du temps des équations différentielles). Discrétisations et équations différen- tielles se traduisent généralement par des manipulations de matrices. Par exemple, au lieu uploads/Geographie/ les-matrices-une-representation-du-monde.pdf