1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVR

1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2001 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE EPREUVE D'ORDRE GENERAL DUREE : 4 HEURES Les candidats traiteront l'un des trois sujets au choix. SUJET n° 1 Montesquieu (1689-1755) écrivain français en évoquant le bon sens, a écrit ceci «j’aime les paysans, ils ne sont pas assez savants pour raisonner de travers». Que pensez vous de cette phrase assez provocante ? Est-elle encore d’actualité ? SUJET n° 2 A l‘aide d’exemples précis expliquez ce proverbe EWE du Togo ? «Un mauvais frère est comme une branche de rônier, on ne peut pas le refuser totalement car il faut penser aux jours de pluie». SUJET n° 3 Que vous inspire ce proverbe Camerounais ? «L’amitié est une trace qui disparaît dans le sable si on ne la refait pas sans cesse». 1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2001 CONCOURS D’ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTION ECONOMIE DEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 3 HEURES Problème n° 1 On considère un triangle quelconque ABC. → → → A partir des deux vecteurs AB et AC, on définit le vecteur AD appelé produit vectoriel → → de AB et AC de la façon suivante : → • AD est orthogonal en A au plan contenant le triangle ABC → → → • α étant l’angle formé par les vecteurs AB et AC, la longueur du vecteur AD, notée ||AD||, est égale à ||AB||.||AC||.sinα 1) Etablir une relation entre ||AD|| et la surface S du triangle ABC 2) A et B sont deux points distincts du plan. Caractériser et représenter géométriquement l’ensemble des points M du plan tel → → que la longueur du produit vectoriel de MA et MB soit une constante strictement positive a. 2 Problème n° 2 n étant un nombre entier, on note par E(n) l’espace vectoriel des polynômes de la variable réelle, à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à n. Partie A : Soit g l’application définie sur E(n) qui à tout polynôme P de E(n) associe le polynôme g(P) défini par : g(P) = (x2 – 1)P’’ + (2x + 1)P’ où P’ et P’’ désignent les dérivées première et seconde du polynôme P. 1) Montrer que g est une application linéaire de E(n) dans E(n). 2) On suppose que P est strictement de degré n ; quel est le degré du polynôme g(P) ? 3) Quel est le noyau de g, c’est-à-dire l’ensemble des polynômes tel que g(P) = O, où O désigne le polynôme nul ? 4) On note par B = {1, x, x², …., xn} la base canonique de E(n). Donner l’expression de la matrice G de l’application g dans la base B. Déterminer les valeurs propres de G. Partie B : Soit h l’application définie sur E(n) par : h(P) = P(x+2) – 2P(x+1) + P(x) 1) Montrer que h est une application linéaire de E(n) dans E(n). 2) Déterminer le degré de h(P) en fonction du degré de P. 3) Déterminer le noyau de h. 3 Problème n° 3 Partie A : R4 désigne l’espace euclidien de dimension 4 muni de sa base canonique usuelle B4. Soit f l’endomorphisme de R4 dans R4 dont la matrice A dans B4 est :               = 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 A Trouver les valeurs propres de f et donner, pour chacune d’elles, des vecteurs propres associés de longueur 1. Partie B : R3 désigne l’espace euclidien de dimension 3 muni de sa base canonique usuelle B3. Soit g l’endomorphisme de R3 dans R3 dont la matrice G dans B3 est :           = 0 0 1 0 2 0 0 0 k G où k est un nombre réel. Trouver les valeurs propres de g en fonction de k. 1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2001 CONCOURS D’ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTION ECONOMIE PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 4 HEURES Problème n° 1 On considère la fonction f de la variable réelle x définie par : x →f(x) = ln(ln |x|) où ln est le symbole des logarithmes népériens. Etudier les variations de f (domaine de définition, continuité, dérivation, comportement asymptotique, etc …) et tracer précisément son graphe. Donner les équations des tangentes à f aux points A et B d’abscisses respectives e et −e, ainsi que les équations des normales à ces tangentes en A et en B. Calculer la surface du quadrilatère formé par les deux tangentes et les deux normales. 2 Problème n° 2 On considère la fonction réelle f de la variable réelle définie par f(x) = (4 + x4)-1/2. 1) Etudier les variations et tracer le graphe de f. 2) On considère la fonction F de la variable réelle x définie par : F(x) =  x x dt t f 2 ) ( En aucune manière il n’est demandé le calcul explicite de l’intégrale définissant F. 2.1) Donner l’ensemble de définition de F et étudier sa parité. 2.2) Calculer la dérivée de F après avoir justifié son existence. 2.3) Montrer que pour tout x positif ou nul, on a : x.(4 + 16x4)-1/2 ≤F(x) ≤x.(4 + x4)-1/2 En déduire la limite de F(x) quand x tend vers + ∞. 3) Donner le tableau de variations de F et tracer son graphe. 4) On note u(x) la fonction x-2. On définit alors, pour x > 0, la quantité E(x) par : E(x) = x  − x x dt t u t f 2 )) ( ) ( ( Montrer que la limite de E(x) est 0 quand x tend vers + ∞. 3 Problème n° 3 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par la relation f(x) = x + x3. 1) Montrer que f admet une fonction réciproque, que l’on notera par g. 2) Montrer que la fonction g vérifie, pour tout x, la relation : g(x) + g3(x) = x 3) Tracer le graphe de g. 4) Justifier précisément le fait que g soit dérivable. Donner l’expression de la dérivée g’ en fonction de g. En déduire le tableau de variation de g’. 5) Soit G la fonction définie par : G(x) =  x dt t g 0 ) ( Calculer G en fonction de g. Etudier alors les variations de la fonction G. 1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2001 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTION ECONOMIE EPREUVE D’ECONOMIE DUREE : 4 HEURES Les candidats devront traiter au choix, l’un des deux sujets suivants : SUJET n° 1 Les théories macroéconomiques du comportement de consommation et d’épargne des ménages vous paraissent-elles rendre compte des phénomènes observés dans les économies en voie de développement ? Il vous est demandé : - de rappeler les différentes théories contemporaines en déduisant soigneusement les principales conclusions des hypothèses retenues (théorie keynesienne, théorie du revenu permanent, théorie du cycle de vie....) - d’illustrer le débat à l’aide d’exemples choisis dans les économies en développement. SUJET n° 2 Existe-t-il un régime de change optimal pour les économies en développement ? Dans un premier temps, vous rappellerez les conséquences du choix d’un régime de change sur les grands équilibres internes et externes, et sur les politiques macroéconomiques. Dans un second temps, vous illustrerez la réponse à la question du régime de change optimal par des exemples choisis dans les économies en développement. 1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2001 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTION ECONOMIE EPREUVE D’ANALYSE D’UNE DOCUMENTATION STATISTIQUE DUREE : 2 HEURES L’épreuve est composée de 2 exercices indépendants qui peuvent donc être traités dans un ordre quelconque. Exercice n° 1 La commune d’Adaxer a acquis un parc de photocopieurs auprès de la société Xeric. On estime que la probabilité qu’un photocopieur tombe en panne au cours d’une journée est p=0,002. Ce parc de photocopieurs fait l’objet d’un contrat de maintenance prévoyant le remplacement du matériel si la durée de la panne excède la journée. On admettra, pour simplifier, que la machine en panne est toujours remise en service au début du jour ouvrable qui suit celui de la panne mais n’est jamais remise en service dans la journée de la panne. 1) Calculer, en justifiant, la probabilité, pour une machine donnée, de tomber en panne au moins une fois au cours d’une période de 40 jours. 2) Soit X, la variable aléatoire “nombre de pannes survenant au cours d’une période de 40 jours sur un photocopieur donné”. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ? Justifier votre réponse. 3) Calculer la probabilité, pour une machine donnée, de tomber en panne au moins une fois au cours d’une période de 40 jours, en utilisant le résultat de la question précédente. 4) Le parc acheté uploads/Geographie/ iseeco-2001.pdf

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