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John H.Conway · Richard K.Guy Zahlenzauber Von natürlichen, imaginären und ande

John H.Conway · Richard K.Guy Zahlenzauber Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen Aus dem Amerikanischen von Manfred Stern Springer Basel AG IV Die amerikanische Originalausgabe erschien unter dem Titel "The book of numbers" bei Copernicus. An Imprint of Springer-Verlag New York, 175 Fifth Avenue, NewYork, N.Y. 10010-7858, USA. © 1996 Springer-Verlag NewYork, Inc. Die Deutsche Bibliothek- CIP-Einheitsaufnahme Conway, John H.: Zahlenzauber : von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen I John H. Conway ; Richard K. Guy. Aus dem Amerikan. von Manfred Stern. Einheits sacht.: The book of numbers <dt.> ISBN 978-3-0348-6085-7 ISBN 978-3-0348-6084-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-6084-0 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildun- gen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Verviel- fältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanla- gen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Ein- zelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechts- gesetzes in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich ver- gütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechts. ©Springer Basel AG 1997 Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag, Basel1997 Softcoverreprint of the bardeover Ist edition 1997 Umschlaggestaltung: WSP-Design, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier, hergestellt aus chlorfrei gebleichtem Zell- stoff. TCF oo ISBN 978-3-0348-6085-7 987654321 In ha ltsverzeich n is Vorwort Vorwort des Übersetzers Kapitel 1 Zahlenromantik Kapitel 2 Bilder aus Bildern: Wie man Arithmetik und Algebra geometrisch betreibt VI IX 1 35 Kapitel 3 Was kommt als nächstes? 73 Kapitel 4 Berühmte Familien von Zahlen 103 Kapitel 5 Die Vorzüge von Primzahlen . 143 Kapitel 6 Über die Nützlichkeit von Brüchen 169 Kapitel 7 Geometrische Probleme und algebraische Zahlen 203 Kapitel 8 Wie man sich imaginäre Zahlen vorstellt 23 7 Kapitel 9 Einige transzendente Zahlen 265 Kapitel 10 Unendlich große und unendlich kleine Zahlen 295 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Vorwort Das Ziel des Buches ist es, dem wißbegierigen Leser eine Erklärung fiir die vielen Möglichkeiten der Verwendung des Wortes "Zahl" zu geben. Wir haben dies getan, ohne uns an das formale Vorgehen von Lehrbüchern und Lehrplänen zu halten, so daß sich auch ein profes- sioneller Mathematiker wichtige Informationen über Gebiete ver- schaffen kann, die außerhalb seines/ihres Spezialgebietes liegen; dementsprechend läßt sich auch die Lehre bereichern. Die Verwendungsmöglichkeiten des Wortes "Zahl" sind mannig- faltig, aber wir können wenigstens drei verschiedene Elemente aus- machen. Zunächst haben wir die Entwicklung des Zahlbegriffes (das Wort "Zahl" wird hier üblicherweise im Singular geschrieben), wobei eine ständige Anpassung und Verallgemeinerung stattfindet, um sowohl den Anforderungen der Mathematik als auch der zuneh- menden Vielfalt der Anwendungen zu genügen: die natürlichen Zah- len, die Null, Brüche, negative Zahlen, irrationale Quadratwurzeln, algebraische Zahlen, unendlich kleine und unendlich große Zahlen, surreale Zahlen, komplexe Zahlen, Quaternionen und Oktaven. Dann haben wir die spezielle Untersuchung der ganzen Zahlen, die höhere Arithmetik von Gauß oder Zahlentheorie (man beachte hier die Verwendung des Plurals), die mit dem neueren Gebiet der abzählenden Kombinatorik einen nichtleeren Durchschnitt hat. Spe- zielle Mengen oder Folgen von Zahlen sind die Primzahlen, die Mer- senneschen und die Permatschen Zahlen, die vollkommenen Zahlen, Vorwort VII die Fibonaccischen Zahlen und die Catalanschen Zahlen, Eulersche Zahlen und Eulerzahlen und die Bernoullischen Zahlen. Und schließlich gibt es eine Menge spezieller Zahlen: die Lu- dolphsche Zahl rr, die Napiersche Zahl e, die Euler-Mascheronische Zahl y, die Feigenbaumsehe Konstante und algebraische Zahlen, die in spezifischen Zusammenhängen auftreten - von der Diagonale eines Quadrates oder eines regulären Fünfecks bis hin zum Beispiel einer Gleichung vom Grad 71, die bei einfach anmutenden "Schau- und-Sag"-Folgen auftaucht. Obgleich die Mathematik traditionellerweise in logischer Folge- richtigkeit angeordnet ist, entspricht dies offenbar nicht der Arbeits- weise des menschlichen Gehirns. Es ist zwar oft nützlich, Teile früherer Kapitel des Buches zu kennen, wenn man nachfolgende Kapitel liest. Der Leser kann jedoch nach eigenem Gutdünken im Buch herumblättern und sich bruchstückartige Informationen heraus- picken, ohne verpflichtet zu sein, das Buch kontinuierlich von Anfang bis Ende durchzulesen. Kapitel 1 schildert Zahlen in Wörtern und Zahlsymbole und Kapitel 2 zeigt, wie man viele elementare, aber wichtige Fakten entdecken kann "ohne irgendwelche Mathematik zu benutzen". In Kapitel 3 und 4 werden einige Mengen von natürlichen Zahlen vor- gestellt, die in ganz verschiedenen Zusammenhängen auftreten. Kapitel 5 ist den "multiplikativen Bausteinen" - den Primzahlen - gewidmet. Brüche oder "algebraische Zahlen vom Grade 1" werden in Kapitel 6 behandelt, algebraische Zahlen höheren Grades dagegen in Kapitel 7. Die sogenannten "komplexen" und "transzendenten" Zahlen werden in den Kapiteln 8 und 9 erläutert. Das letzte Kapitel ist den unendlich großen und den unendlich kleinen Zahlen gewid- met, den surrealen Zahlen, die eine extrem große und dennoch unendlich kleine Unterklasse der jüngsten Entwicklung des Zahlbe- griffes bilden, bei dem es um die Werte kombinatorischer Spiele geht. Die Farbgrafiken in Kapitel 2 wurden von Kenny und Andy Guy unter Verwendung der Software "Graphicsland" von Brian Wyvill im Grafiklabor des Institutes für Computer Science der Universität Calgary hergestellt. Drei der Abbildungen in Kapitel 4 wurden dem Buch The Algorithmic Beauty of Plants von Przemyslaw Prusinkie- VIII Vorwort wicz und Aristid Lindenmayer, Springer-Verlag, New York 1990,- mit freundlicher Genehmigung der Autoren und des Verlages - ent- nommen. Die erste Abbildung stammt von D.R. Fowler, die zweite von D. R. F. und P. Prusinkiewicz und die dritte von D. R. F. und A. Snider. Wir danken Andrew Odlyzko und Peter Renz für das Durchsehen einer früheren Version des Buches und für ihre zahlreichen nützli- chen Hinweise. Wir bedanken uns auch bei Jerry Lyons, Liesl Gib- sou und Henry Krell für ihre höfliche und geduldige Beharrlichkeit; den Mitarbeitern von Springer danken wir für ihre allseitige Kompe- tenz. Wir sind stolz darauf, zu den ersten Autoren einer weiteren erfolgreichen Reihe von Springer zu gehören. Princeton und Calgary John H. Conway und Richard K. Guy Vorwort des Übersetzers Eine Übersetzung soll nicht zu wörtlich, aber auch nicht zu frei sein. Eine besonders schwierige Aufgabe war die Übersetzung des ersten Kapitels. In diesem Kapitel wird an vielen Stellen die Herkunft von Wörtern betrachtet- aus der Sicht der anglophonen Welt. An diesen Stellen bin ich notgedrungen gelegentlich weit vom Original abge- wichen und habe - wo es möglich war - sinngemäße deutsche Ent- sprechungen verwendet. Zwei Beispiele sollen diese Herangehens- weise erläutern: Für "quadruped" (Vierfüßer) (vgl. Seite 1 des Originals) habe ich als "Übersetzung" den Begriff "Quadriga" genommen. Anstelle der Etymologie des englischen Wortes "alone" (vgl. Seite 3 des Originals) habe ich die Etymologie der deutschen Übersetzung "allein" verwendet. Ferner habe ich einige Stellen weggelassen, deren Übersetzung mir im gegebenen Zusammenhang nicht sinnvoll erschien. Das eng- lische Wort "nimble" (vgl. Seite 1 des Originals) ist ein Beispiel hier- für. An anderen Stellen habe ich dagegen einige Dinge aufgenom- men, die zwar nicht im amerikanischen Original stehen, sich aber gut in den Zusammenhang einfügen. Beispiele hierfür sind Zitate aus Luthers Bibelübersetzung und der Anfang der Rede Lincolns bei der Einweihung eines Soldatenfriedhofs in Gettysburg (vgl. Seite 5 und Seite 15 der Übersetzung). Für diese beiden Hinweise und für zahlreiche weitere Bemerkun- gen danke ich Herrn Dr. Gerhard Betsch (Universität Tübingen) ganz X Vorwort besonders. Für weitere Hinweise danke ich den Herren Dr. Werner Loch (Halle), Dr. Rüdiger Thiele (Universität Leipzig) und Herrn Hans-Georg Mosemann (Eisleben). Schließlich bedanke ich mich beim zuständigen Lektor des Birkhäuser Verlages, Herrn Dr. Thomas Schindler, und bei Herrn Dr. Reinhold Kursehat für die Durchsicht der gesamten Übersetzung. Halle, März 1997 Manfred Stern --v Zahlenromantik Zahlen in Wörtern Durch die gesamte Geschichte hatten Zahlen einen gewaltigen Ein- fluß auf unsere Kultur und auf unsere Sprache. Tausende von Wör- tern hängen offensichtlich mit Zahlen zusammen. Wir greifen einige Beispiele heraus: ein Monolog ist eine Rede, die von 1 Person gehalten wird; ein Bimetall ist ein Werkstoff aus 2 verschiedenen Metallen; ein Triumvirat ist ein Bündnis von 3 Männern; eine Quadriga ist ein Gespann von 4 Pferden; ein Pentathlon besteht aus 5 athletischen Disziplinen; ein Sextett ist ein Musikstück fiir 6 Instrumente; ein Heptameter ist ein 7fiißiger Vers; ein Oktopus hat 8 "Füße"; ein Nonagon hat 9 Ecken, und das Dezimalsystem beruht auf der GrundzahllO. In vielen anderen Fällen sind jedoch die einstmals so deutlichen Zusammenhänge im Laufe der Zeit aufgrund von Bedeutungsände- rungen verblaßt Haben Sie sich jemals verdeutlicht, wieviele Wörter mit dem lateinischen Wort "numerus" (Zahl) zusammenhängen? Zum Bei- 2 Zahlenromantik spiel leiten sich unser Wort "Nummer" und das englische Wort "number" davon ab. Das Wort hat eine indoeuropäische Wurzel, die "Anteil" bedeutet und die ursprünglich wohl mit der Aufteilung von Land zu tun hatte. "Nemesis" (die Göttin der Vergeltung des Über- muts) war ursprünglich der eigene Anteil am Schicksal. Das griechi- sche nemein bedeutet zuteilen, womit insbesondere das Zuteilen von Weideland gemeint war. Hiervon leitet sich "Nomade" ab -jemand, der auf der Suche nach Weideland umherzieht. In Wörtern mit "nom" steckt das griechische nomos (das Zugeteilte, Angeordnete, Festgesetzte): "Binom", "Astronomie", "Ökonomie", "Autonomie" und so weiter. Im Deutschen haben uploads/Geographie/ john-h-conway-richard-k-guy-auth-zahlenzauber-von-natuerlichen-imaginaeren-und-anderen-zahlen-1997-birkhaeuser-basel-pdf.pdf