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Wisama KHALIL, Etienne DOMBRE Date de création : 08 mai 2012 Bases de la modéli

Wisama KHALIL, Etienne DOMBRE Date de création : 08 mai 2012 Bases de la modélisation et des robots Wisama KHALIL, Etienne DOMBRE la modélisation et de la des robots-manipulateurs de type série la commande de type série Bases de la modélisation et de la commande des robots-manipulateurs de type série Wisama KHALIL 1 et Etienne DOMBRE 2 Ce document constitue un support de cours (une vingtaine d'heures) pour des étudiants en Master ou en Ecole d'Ingénieurs qui cherchent à acquérir les bases de la modélisation, de la génération de mouvement et de la commande des robots manipulateurs de type série. Ils trouveront dans [Khalil 02] une présentation plus complète de ces domaines, notamment pour traiter les robots à chaîne complexe et les robots parallèles, pour identifier les paramètres de ces modèles ou pour introduire des schémas de commande en position et en effort avancés. 1. Modélisation 1.1 Introduction La conception et la commande des robots nécessitent le calcul de certains modèles mathématiques, tels que : – les modèles de transformation entre l'espace opérationnel (dans lequel est définie la situation de l'organe terminal) et l'espace articulaire (dans lequel est définie la configuration du robot). On distingue : - les modèles géométriques direct et inverse qui expriment la situation de l'organe terminal en fonction des variables articulaires du mécanisme et inversement ; - les modèles cinématiques direct et inverse qui expriment la vitesse de l'organe terminal en fonction des vitesses articulaires et inversement ; – les modèles dynamiques définissant les équations du mouvement du robot, qui permettent d'établir les relations entre les couples ou forces exercés par les actionneurs et les positions, vitesses et accélérations des articulations. On présente dans ce chapitre quelques méthodes permettant d'établir ces modèles. On se limitera au cas des robots à structure ouverte simple. Pour les robots à structure complexe, arborescente ou fermée, on renvoie le lecteur à [Khalil 02]. Le formalisme mathématique fait appel aux matrices de transformation homogènes de dimension (4x4). La matrice homogène iTj représente la transformation permettant de passer du repère Ri au repère Rj : iTj =       iAj iPj 0 0 0 1 =       isj inj iaj iPj 0 0 0 1 [1] où isj, inj et iaj désignent respectivement les vecteurs unitaires suivant les axes xj, yj et zj du repère Rj exprimés dans le repère Ri, et où iPj est le vecteur exprimant l'origine du repère Rj dans le repère Ri. Les vecteurs isj, inj, iaj de la matrice d'orientation iAj sont les cosinus directeurs. 1.2. Modélisation géométrique 1.2.1. Description géométrique La modélisation des robots de façon systématique et automatique exige une méthode adéquate pour la description de leur morphologie. Plusieurs méthodes et notations ont été proposées [Denavit 55], [Sheth 71], [Renaud 75], [Khalil 76], [Borrel 79], [Craig 86]. La plus répandue est celle de Denavit-Hartenberg [Denavit 55]. Mais cette méthode, développée pour des structures ouvertes simples, présente des ambiguïtés lorsqu'elle est appliquée sur des robots ayant des structures fermées ou arborescentes. C'est pourquoi, nous préconisons la 1 IRCCyN, UMR 6597 CNRS - Ecole Centrale de Nantes 2 LIRMM, UMR 5506 CNRS - Université Montpellier 2 2 Université Numérique Ingénierie & Technologie – Robotique notation de Khalil et Kleinfinger qui permet la description homogène, et avec un nombre minimum de paramètres, des architectures ouvertes simples et complexes de systèmes mécaniques articulés [Khalil 86]. Une structure ouverte simple est composée de n+1 corps notés C0, …, Cn et de n articulations. Le corps C0 désigne la base du robot et le corps Cn le corps qui porte l'organe terminal. L'articulation j connecte le corps Cj au corps Cj-1 (figure 1). La méthode de description est fondée sur les règles et conventions suivantes : – les corps sont supposés parfaitement rigides. Ils sont connectés par des articulations considérées comme idéales (pas de jeu mécanique, pas d'élasticité), soit rotoïdes, soit prismatiques ; – le repère Rj est lié au corps Cj ; – l'axe zj est porté par l'axe de l'articulation j ; – l'axe xj est porté par la perpendiculaire commune aux axes zj et zj+1. Si les axes zj et zj+1 sont parallèles ou colinéaires, le choix de xj n'est pas unique : des considérations de symétrie ou de simplicité permettent alors un choix rationnel. Le passage du repère Rj-1 au repère Rj s'exprime en fonction des quatre paramètres géométriques suivants (figure 2) : • αj : angle entre les axes zj-1 et zj correspondant à une rotation autour de xj-1 ; • dj : distance entre zj-1 et zj le long de xj-1 ; • θj : angle entre les axes xj-1 et xj correspondant à une rotation autour de zj ; • rj : distance entre xj-1 et xj le long de zj. C1 C2 C3 Cn C0 Figure 1. Robot à structure ouverte simple zj-1 xj-1 zj xj dj rj θj αj Oj Oj-1 Figure 2. Paramètres géométriques dans le cas d'une structure ouverte simple Bases de la modélisation et de la commande des robots-manipulateurs de type série 3 La variable articulaire qj associée à la jème articulation est soit θj, soit rj, selon que cette articulation est de type rotoïde ou prismatique, ce qui se traduit par la relation : qj = σ − j θj + σj rj [2] avec : • σj = 0 si l'articulation j est rotoïde ; • σj = 1 si l'articulation j est prismatique ; • σ − j = 1 – σj. La matrice de transformation définissant le repère Rj dans le repère Rj-1 est donnée par (figure 2) : j-1Tj = Rot(x, αj) Trans(x, dj) Rot(z, θj) Trans(z, rj) =         Cθj –Sθj 0 dj CαjSθj CαjCθj –Sαj –rjSαj SαjSθj SαjCθj Cαj rjCαj 0 0 0 1 [3] où Rot(u, α) et Trans(u, d) sont des matrices de transformation homogène (4x4) représentant respectivement une rotation α autour de l'axe u et une translation d le long de u. REMARQUES – – pour la définition du repère de référence R0, le choix le plus simple consiste à prendre R0 confondu avec le repère R1 quand q1 = 0, ce qui signifie que z0 est confondu avec z1 et O0 = O1 lorsque l'articulation 1 est rotoïde, et z0 est confondu avec z1 et x0 est parallèle à x1 lorsque l'articulation 1 est prismatique. Ce choix rend les paramètres α1 et d1 nuls ; – de même, on définit l'axe xn du repère Rn comme étant colinéaire à xn-1 lorsque qn = 0 ; – pour une articulation j prismatique, l'axe zj est parallèle à l'axe de l'articulation mais la position de cet axe dans l'espace peut être quelconque : on le place donc de telle sorte que dj ou dj+1 soit nul ; – lorsque zj est parallèle à zj+1, on place xj de telle sorte que rj ou rj+1 soit nul ; – en pratique, le vecteur des variables articulaires q est donné par : q = qc + q0 où q0 représente un décalage ("offset") et qc sont les variables codeurs. EXEMPLE 1. – Description de la géométrie du robot Stäubli RX-90 (figure 3). La cinématique du porteur est de type anthropomorphe RRR et le poignet comporte trois rotations d'axes concourants, équivalentes à une rotule. D'un point de vue méthodologique, on place d'abord les axes zj sur les axes articulaires, puis les axes xj selon les règles énoncées précédemment. On détermine ensuite les paramètres géométriques du robot. Le placement des repères est indiqué sur la figure 3 et les paramètres géométriques sont donnés dans le tableau 1. 4 Université Numérique Ingénierie & Technologie – Robotique x3 x4, x5, x6 z4, z6 z3 z2 z0, z1 z5 x0, x1, x2 D3 RL4 Figure 3. Placement des repères et notations pour le robot Stäubli RX-90 j σj αj dj θj rj 1 0 0 0 θ1 0 2 0 π/2 0 θ2 0 3 0 0 D3 θ3 0 4 0 –π/2 0 θ4 RL4 5 0 π/2 0 θ5 0 6 0 –π/2 0 θ6 0 Tableau 1. Paramètres géométriques du robot Stäubli RX-90 1.2.2. Modèle géométrique direct Le modèle géométrique direct (MGD) est l'ensemble des relations qui permettent d'exprimer la situation de l'organe terminal, c'est-à-dire les coordonnées opérationnelles du robot, en fonction de ses coordonnées articulaires. Dans le cas d'une chaîne ouverte simple, il peut être représenté par la matrice de transformation 0Tn : 0Tn = 0T1(q1) 1T2(q2) … n-1Tn(qn) [4] Le modèle géométrique direct du robot peut aussi être représenté par la relation : X = f(q) [5] q étant le vecteur des variables articulaires tel que : q = [q1 q2 … qn]T [6] Les coordonnées opérationnelles sont définies par : X = [x1 x2 … xm]T [7] Plusieurs possibilités existent pour la définition du vecteur X. Par exemple, avec les éléments de la matrice 0Tn : Bases de la modélisation et de la commande des robots-manipulateurs de type série 5 X = [Px Py Pz uploads/Geographie/ khalil-dombre-modelisation-pdf.pdf