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Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Prof. Mohamed El Merouan

Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Prof. Mohamed El Merouani 1 Chapitre 2 : REGRESSION LINÉAIRE MULTIPLE Plan du Chapitre : I.- Position du problème II.- Hypothèses d’application de la Méthode de moindres carrées III.- Estimation des composants du vecteur A IV.- Espérance mathématique et matrices des variances covariances des estimateurs …à suivre… I.- Position du problème : Le modèle de régression linéaire multiple est de la forme : ε + + + + = k k X a X a X a Y L 2 2 1 1 , où Y est la variable à expliquer,. X1,X2,…,Xk ce sont les variables explicatives. a1,a2,…,ak ce sont les paramètres du modèle. ε est l’erreur aléatoire, inconnue et centrée. Les variables Y, X1,X2,…,Xk et ε sont des vecteurs de n composantes.                     =                     =                     =                     = n i nk ik k k k n i n i x x x x X x x x x X y y y y Y ε ε ε ε ε M M M M L L L M M M M 2 1 2 1 1 1 21 11 1 2 1 ; ; ; ; Le vecteur aléatoire Y est connu. Les vecteurs X1,X2,…,Xk sont connus et non aléatoires. Résoudre le problème consiste en estimer les paramètres a1,a2,…,ak qui sont inconnus. Notons par k a a a ˆ , , ˆ , ˆ 2 1 L leurs estimateurs. Le modèle s’écrit, alors :                     +                     + +                     =                     n i nk ik k k k n i n i x x x x a x x x x a y y y y ε ε ε ε M M M M L L M M M M 2 1 2 1 1 1 12 11 1 2 1 www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Prof. Mohamed El Merouani 2 ou encore sous forme matricielle,               +                             =                     n k nk n n k k n i a a a x x x x x x x x x y y y y ε ε ε M M L M O M L L M M 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 Soit finalement, en posant,               = nk n n k k x x x x x x x x x X L M O M L L 2 1 2 22 21 1 12 11 et               = k a a a A M 2 1 sous forme d’une équation matricielle : ε + = XA Y Matrices de types (n,1)=(n,k)(k,1)+(n,1) Remarquons qu’un modèle écrit sous forme non homogène, c'est-à-dire avec un terme constant : ε + + + + + = k k X a X a X a a Y L 2 2 1 1 0 Revient au cas général précédent en supposant que la constante a0 est multipliée par un vecteur unitaire X0 : ε + + + + + = k k X a X a X a X a Y L 2 2 1 1 0 0 La matrice X admet, alors, une colonne complètement des « 1 » :               = nk n k k x x x x x x X L M O M L L 1 2 21 1 11 1 1 1 et               = k a a a A M 1 0 Par la suite, nous allons considérer le cas homogène et nous allons estimer les termes du vecteur A en appliquant la méthode des moindres carrées. www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Prof. Mohamed El Merouani 3 II.- Hypothèses d’application de la méthode des moindres carrées : On suppose que : 1°) Le nombre des composantes (n) est plus grand que le nombre des variables explicatives (k) : n>k. Les variables explicatives sont connues et non-aléatoires. En d’autres termes, commençant de nouveau par l’échantillonnage, l’unique source de variation pour Y provient de l’erreur aléatoire ε. 2°) La matrice X de type (n,k) est de rang k, c'est-à-dire que aucune variable explicative n’est linéairement dépendante des autres. Dans le cas où le rang de X est inférieur à k, la procédure d’estimation n’est plus valable. En effet, le rang de la matrice X’X, ou X’ désigne la matrice transposée de X, est alors inférieur à k, et la matrice (X’X)-1, matrice inverse de X’X n’existe pas. 3°) L’espérance mathématique du vecteur résiduel ε est nulle : E(ε)=0 (hypothèse fondamentale) Le zéro représente le vecteur 0 de n composantes. En effet, pour tout i, on a E(εi)=0, c'est-à- dire : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 = ⇔               =                             ⇔        = = = ε ε ε ε ε ε ε E E E E E n n M M M 4°) L’espérance mathématique de la matrice formée par le produit du vecteur ε et de sa transposée ε’ est égale à σ2I, où pour tout i, ( ) 2 2 i E ε σ = et où I est la matrice identité de type (n,n). En effet, ( )               =               = ′ 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , n n n n n n n ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε L M O M L L L M de types (n,1) (1,n) (n,n) Alors, l’espérance de cette matrice sera : www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Prof. Mohamed El Merouani 4 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Ω =               = ′ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n E E E E E E E E E E L M O M L L Cette matrice est la matrice des variances-covariances des erreurs que l’on note Ωε. Mais, par l’hypothèse d’homoscédasticité, on a : 2 2 2 2 2 1 ) ( ) ( ) ( σ ε ε ε = = = = n E E E L et par l’hypothèse de non-corrélation des erreurs : j i si E j i ≠ = , 0 ) ( ε ε D’où I E 2 2 2 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) ( σ σ σ σ σ ε ε =         uploads/Geographie/ regression-line-aire-multiple.pdf