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N˚ Attribué par la bibliothèque Année univ.: 2018/2019 République Algérienne Dé

N˚ Attribué par la bibliothèque Année univ.: 2018/2019 République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique Laplacien Fractionnaire Mémoire présenté en vue de l’obtention du diplôme de Master Académique Université de Saida - Dr Moulay Tahar Discipline : MATHEMATIQUES Spécialité : Analyse Mathématique par Aliouane Amine 1 Sous la direction de A. Azzouz Soutenu le 16/07/2019 devant le jury composé de F. Z. Mostefai Université Dr Tahar Moulay - Saïda Présidente A. Azzouz Université Dr Tahar Moulay - Saïda Encadreur S. Abbas Université Dr Tahar Moulay - Saïda Examinateur O. Bennihi Université Dr Tahar Moulay - Saïda Examinateur 1. aliouaneamin2112@gmail.com Remerciements Je tiens tout d’abord à remercier ALLAH AZA WAJAL le tout puissant et miséricordieux, qui nous a donné la force et la patience d’accomplir ce modeste travail. En second lieu, je tiens tout particulièrement à exprimer ma profonde gratitude et mes vifs remerciements au professeur Abdelhalim Azzouz pour ses précieux conseils, l’orientation, la conﬁance et la patience qui ont constitué un apport considérable sans lequel ce travail n’aurait pas pu être mené au bon port. Qu’il trouve dans ce travail un hommage vivant à sa haute personnalité. Également je tiens à exprimer ma profonde gratitude et mes vifs remerciements au professeur Dida pour ses précieux conseils, de ce travail. Je voudrais mes plus visf remerciement vont égalment aux membres du jury : F.Z.Mostefai et S.Abbes et le O.Bennehi pour l’intérét qu’ils ont à ma recheche en acceptant d’examiner mon tarvail et de l’enrichir par leurs critiques et remarques. Mes remerciements vont aussi à tout membre de département de mathématique de la faculté des sciencesr Dr MOLAY TAHAR Enﬁn, mes remerciements vont à ma famille, Aliouane mes amis et à toutes les personnes qui ont collaboré de près ou de loin à la réalisation de ce travail. 2 Dédicaces Je tiens à dédier ce modeste travail : Avant tout A mon trés cher pére "Boualme" L’homme qui ma donné le désir d’apprendre et le savoir vivre. A ma mère, ma ﬁerté et mon bonheur. A mes soeurs. A mes frère "ABDLEKDER", "Sadek", "Imade", A tous mes amis surtout "B. Zakria,A.abdellah,A. hicham, K.Ali, B.Majide,B.yassin, S.Noureddine, G.lakhdar ". A tous les enseignants et les travailleurs de département d’mathématique qui nous ont beaucoup aide pendant mes années d’études à la promotion Master Analyse mathématique 2019. Table des matières 1 Rappels d’Analyse Fonctionnelle et Harmonique 7 1.1 Analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Espace Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Espaces semi-normés Lp de fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . 8 Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Classe C∞(Rn) à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Opérations sue le support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Distributions sur un ouvert de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Déﬁnitions et Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Opérations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Dérivation au sens distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Produit tensoriel de deux distributions et Convolution . . . . . . . . . 16 1.2.4 Convolution C∞ c ⋆D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Espace de Schwartz, Distributions témpérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 Topologie sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Propriétés de S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.3 Distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 TABLE DES MATIÈRES 4 1.3.4 Espace S′ des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.5 Convergence dans S′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.6 Opérations sur S′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.1 Transformée de Fourier dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.2 Transformation de Fourier des distribution . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.3 Transformation de Fourier au sens des distributions . . . . . . . . . . . 33 1.4.4 Transformation de Fourier du produit de convolution . . . . . . . . . . 38 2 Espaces de Sobolev W m,p(Ω) 40 2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2 Espaces de Sobolev W 1,p(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.1 Théorémes de densité et d’injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Espaces de Sobolev W 1,p 0 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4 Espaces de Sobolev W m,p(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Dualité, les espaces W −m,p′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5 Le Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 Espaces de Sobolev Fractionnaires 61 3.1 W s,p(Ω) pour (Ω= Rn) (0 < s < 1 , p ∈N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 Espace de Sobolev fractionnaire W s,p(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.1 Espace W s,p, s>1 . . . . . . . uploads/Geographie/ laplacien-fractionnaire.pdf