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Mathématiques pour la Physique. Bahram Houchmandzadeh Remerciements : Je remerc

Mathématiques pour la Physique. Bahram Houchmandzadeh Remerciements : Je remercie sincérement Youssef Ben Miled et Mathias Legrand pour leur lecture at- tentive du manuscrit et leur très (très) nombreuses corrections et suggestions. Grace à leurs eforts, ce manuscrit a un aspect beaucoup présentable. web : http://houchmanddzadeh.net/cours/Math/math.htm courriel : bahram.houchmandzadeh à univ-grenoble-alpes.fr Première version : Septembre 2008 Version présente : June 22, 2016 2 Table des matières 1 Introduction 7 2 Éléments d’analyse fonctionnelle. 9 2.1 Les espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 L’espace vectoriel des fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Quelques digressions historiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Les séries de Fourier. 18 3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Les séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 Pourquoi les séries de Fourier sont intéressantes ? . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Un peu de généralisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5 Les séries de sinus et de cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.6 Vibration d’une corde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.7 Dérivation terme à terme des séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . 28 3.8 Équation de la chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Les transformations de Fourier. 42 4.1 Entrée en matière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Les opérations sur les TF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Transformée de Fourier Rapide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4 Manipulation et utilisation des TF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5 Relation entre les séries et les transformés de Fourier. . . . . . . . . . . 50 4.6 Approfondissement : TF à plusieurs dimensions. . . . . . . . . . . . . . 50 5 Les distributions. 53 5.1 Ce qu’il faut savoir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2 Un peu de décence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3 Manipulation et utilisation des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.5 Problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6 Convolution et corrélation. 67 6.1 Les convolutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.2 Auto-corrélation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3 Table des matières 6.3 Approfondissement : Relation entre l’équation de difusion et les convo- lutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7 Les transformées de Laplace. 78 7.1 Entrée en matière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.2 Opérations sur les TL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.3 Décomposition en fraction simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.4 Comportement asymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.5 Produit de Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.6 Aperçu des équations intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.7 Aperçu des systèmes de contrôle asservis (feedback systems). . . . . . . 87 7.8 La physique statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.9 TL inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8 Les fonctions de Green. 97 8.1 Entrée en matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.2 Le potentiel électrostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.3 La propagation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.4 Propagateur pour l’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.5 Disposer d’une base propre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 9 Les opérateurs linéaires. 104 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.2 L’algèbre des opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.3 Représentation matricielle des opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.4 Valeurs et vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9.5 Disposer d’une base propre orthogonale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 9.6 Opérateurs hermitiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9.7 Méthodes opératorielles, algèbre de Lie. . . . . . . uploads/Geographie/ mathe-matiques-pour-la-physique-ujf.pdf