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INSTITUT UCAC-ICAM Concours d’entrée- juin 2020 A remplir par le candidat : Nom

INSTITUT UCAC-ICAM Concours d’entrée- juin 2020 A remplir par le candidat : Nom : ……………………………..…… Prénom : …………….……………. Centre de passage de l’examen : ………………… N° de place : ……….. Epreuve de : …………………………………………………………………… Cadre réservé à l’Institut N° anonyme : ……….. Cadre réservé à l’Institut Note : 2nd cycle de la formation GENERALISTE Epreuve de MATHEMATIQUES Cadre réservé à l’Institut N° anonyme : ……….. Le barème est le suivant : 1 point par bonne réponse 0 point si il n’y a pas de réponse ou si la réponse est mauvaise Les énoncés et les brouillons seront ramassés à la fin des épreuves pour être détruits. EXERCICE 1 : 6pts Soit une application linéaire de dans , dont la représentation matricielle dans la base canonique est donnée par la matrice suivante : 1- Calculer le polynôme caractéristique de . (1 pt) i) 2 ii) 2 iii) 2 2- Trouver les valeurs propres de (1 pt) i) ii) iii) 3- Pour chaque valeur propre, déterminer le sous-espace propre correspondant. On donnera une base de chaque sous-espace propre. (1 pt) i) E3 sous-espace propre associé à la valeur propre 3 est la droite vectorielle engendrée par e1 = . Une base est donnée par la famille formée par e1 = . E1 sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est le plan Epreuve de Mathématiques – Page 2 sur 6 INSTITUT UCAC-ICAM Concours d’entrée – juin 2020 NE RIEN INSCRIRE vectoriel engendré par les vecteurs e2 = et e3 = . Une base est donnée par la famille formée par e2 et e3 ii) E-3 sous-espace propre associé à la valeur propre -3 est la droite vectorielle engendrée par e1 = . Une base est donnée par la famille formée par e1 = . E-1 sous-espace propre associé à la valeur propre -1 est le plan vectoriel engendré par les vecteurs e2 = et e3 = . Une base est donnée par la famille formée par e2 et e3 4- Montrer que la matrice est diagonalisable, et proposer une base de vecteurs propres. (1,5 pt) i) La matrice A admet deux valeurs propres (une simple qui est 3 et une double qui est - 1). La multiplicité géométrique de la valeur propre -1 est égale à 2=dimA donc on peut conclure que la matrice est diagonalisable. Une base B de vecteurs propres est {e1, e2, e3}. ii) La matrice A admet deux valeurs propres (une simple qui est -3 et une double qui est -1). La multiplicité arithmétique de la valeur propre -1 est égale à 2 donc on peut conclure que la matrice est diagonalisable. Une base B de vecteurs propres est {e1, e2, e3}. iii) La matrice A admet deux valeurs propres (une simple qui est 3 et une double qui est 1). La multiplicité géométrique de la valeur propre 1 est égale à 2 donc on peut conclure que la matrice est diagonalisable. Une base B de vecteurs propres est {e1, e2, e3}. Epreuve de Mathématiques – Page 3 sur 6 INSTITUT UCAC-ICAM Concours d’entrée – juin 2020 NE RIEN INSCRIRE 5- Ecrire la matrice Diagonale qui représente la matrice de dans la base . Donner la matrice de passage, notée , de la base canonique à la base trouvée à la question précédente, et donner une relation entre (1,5 pt) i) P A=PDP-1 ii) P A=PDP-1 iii) P A=PDP-1 EXERCICE 2 : 5pts Soient les fonctions définies par: a) b) 1- Lesquelles des fonctions ci-dessus sont harmoniques ? (0,5 pt) i) ) La fonction f ii) La fonction g iii) Les fonctions f et g 2- Soit : a) Calculer et (1 pt) i) = 2x+1, = (2y-cosz, 0, ey). ii) = 2x+cosz+2y, = (2y-cosz, 1, ey). a) b) Déterminer la Jacobienne de . (1 pt) i) JG= -2xycosz ii) JG= 2xycosz iii) JG= -2xycosy Epreuve de Mathématiques – Page 4 sur 6 INSTITUT UCAC-ICAM Concours d’entrée – juin 2020 NE RIEN INSCRIRE 3- On donne le champ vectoriel a) Montrer que ce champ est un champ de gradient. (0,5 pt) i) Il suffit de montrer que son rotationnel est égale à 0 ii) Il suffit de montrer que sa divergence est nulle iii) Il suffit de montrer que son rotationnel est égale au vecteur nul b) b) Déterminer le potentiel dont dérive ce champ sachant qu’il vaut 1 à l’origine. (1 pt) i) =y2sinx +ye2z+ 1 ii) =y2sinx +ye-2z+ 1 iii) =y2sinx + y2e2z+ 1 c) Quelle est la circulation de ce champ de à B ? (1 pt) i) CAB(V)=11 ii) CAB(V)=10 iii) CAB(V)=12 EXERCICE 3 : 3pts 1- Résoudre dans l’équation suivante : (1 pt) i) S = {-1+i, -2+3i} ii) S = {-1+i, 2-3i} iii) S = {-1+i, 2+3i} 2- Calculer les intégrales suivantes : (2 x 1pt) i) -1/2 ii) 1/3 iii) 1/2 i) + +2 ii) + – 2 iii) - + – 2 Epreuve de Mathématiques – Page 5 sur 6 INSTITUT UCAC-ICAM Concours d’entrée – juin 2020 NE RIEN INSCRIRE EXERCICE 4 : 6pts 1- Résoudre les équations différentielles suivantes en utilisant la transformée de Laplace : (2 x 1 pt) a) i) y(x)=(x2 + 1)e2x ii) y(x)=(x2 - 1)e2x iii) y(x)= -(x2 + 1)e2x b) i) y(x)= ii) y(x)= iii) y(x)= 2- On considère la fraction rationnelle a. Décomposer en éléments simples et en déduire la valeur de l’intégrale définie . (1 pt) i) , . + , . + , . - b. Déduire également de cette décomposition les originaux respectifs (dans la transformation de Laplace) de avec : (1 pt) et i) f(t)= t – sint et g(t)=et f(t) ii) f(t)= -t + sint et g(t)=e-t f(t) iii) f(t)= t – sint et g(t)=e-t f(t) Epreuve de Mathématiques – Page 6 sur 6 INSTITUT UCAC-ICAM Concours d’entrée – juin 2020 NE RIEN INSCRIRE c. Retrouver d’une autre façon l’original de en utilisant le produit de convolution. (2 pt) i) F(p)=L(t * sint)(p) et f(t)= ii) F(p)=L(t * cost)(p) et f(t)= iii) F(p)=L(t * tant)(p) et f(t)= uploads/Geographie/ mathematique-2nd-cycle-parcours-innovation-sujet-juin-2020.pdf