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* * * Eléments de statistique : - Définition : La statistique est une science d

* * * Eléments de statistique : - Définition : La statistique est une science d’observation, de classement, de synthèse et d’interprétation des grandeurs observées. Notion de base Population statistique : On appelle population statistique ou univers statistique, un ensemble d’éléments sur lesquels porte l’étude statistique envisagée. - Echantillon : On appelle échantillon statistique, un sous ensemble prélevé dans la population, dont il présente un minimum de caractéristiques. Pour des raisons de cout, temps ou commodité, on est souvent amené à faire l’étude statistique sur une partie seulement de la population. - Unité statistique : On appelle unité statistique ou individu statistique un élément quelconque de la population. Exemple : L’ensemble des factures émises dans le mois constitue la population. Une facture quelconque de cette population constitue l’individu. - Caractère statistique : Un individu donné dans la population peut être étudié suivant un deux ou plusieurs caractères. Exemple : * Si nous considérons l’ensemble des employés d’une entreprise, un employé peut être étudié suivant son AGE, SEXE, ANCIENNETE, SALAIRE, MENSUEL, etc.… - Caractère quantitatif & qualitatif : A chaque individu, on attribue un ou plusieurs caractères qui peuvent être soit quantitatifs (s'ils sont mesurables, exemple : salaire, nb d’enfants par ménage...) ou qualitatifs (sinon, exemple : sexe, état matrimonial…). Une valeur que peut prendre un caractère s'appelle modalité. • Un caractère qualitatif peut être soit : –Ordinal : si ses modalités peuvent être naturellement ordonnées exemple : satisfaction plus ou moins grande après l’achat d’un produit. –Nominal : si ses modalités ne peuvent être naturellement ordonnées exemple : état matrimoniale. • On appelle variable statistique, un caractère quantitatif. – On distingue deux sortes de variables statistiques : • Les variables statistiques discrètes (notées : v.s.d.) : ce sont des variables dont l'ensemble des modalités est un ensemble discret (la variable ne peut prendre que des valeurs isolées d'un intervalle). –Exemple : Pour le nombre d'enfants par ménage l’ensemble des modalités peut être {0, 1, 2, 3, 4}. • Les variables statistiques continues (v.s.c.) : dans ce cas, l'ensemble des modalités est continu, la variable peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle. –Exemple : Salaire, âge, taille, poids …etc. - Tableau Récapitulatif : * - L’effectif : Exemple : • Variable x étudiée : les étudiants en économie • Echantillon n = 1000 Etudiants • Effectif des étudiants en économie ni = 250 • Fréquence fi = ni/n = 250 / 1000 = 0.25 Donc 25% des étudiants études l'économie APPLICATION 1 On relève la situation familiale de 20 personnes âgées de plus de 40 ans et on obtient la série suivante : 10 4 8 8 4 8 10 10 10 10 0 10 4 4 8 10 10 4 10 10 T.A.F. : déterminer : Population, sa taille et l’individu statistique ; Caractère et sa nature ; Modalités, leur nombre, l’effectif et la fréquence de chaque modalité. * - Cas d’une seule variable : Le tableau brut se présente sous la forme suivante : Individu Variable 1 2 3 . . . n X1 X2 X3 . . . Xn - Cas de deux variables : Individu Variable 1 Variable 2 1 2 3 . . . n X1 X2 X3 . . . Xn Y1 Y2 Y3 . . . Yn Représentation de la distribution d’un caractère X par un Tableau : Cas d’un caractère qualitatif : – Soit la distribution d’un caractère qualitatif X étudié sur une population de n individus : {(x1, n1), (x2, n2), …, (xk, nk)} * • Sa représentation par tableau est alors comme suit : Modalité xi Effectif ni Fréquence fi X1 X2 . . Xi . . . XK n1 n2 . . ni . . . nK f1 f2 . . fi . . . fK Total n=∑ni 1=∑fi Effectifs et fréquences cumulés : Effectifs et fréquences cumulés croissants : – Soit Ni le i ème effectif cumulé croissant associé à xi Ni est le nombre d’individus présentant au plus la modalité xi. Effectifs et fréquences cumulés décroissants : En sommant cette fois à partir du i ème effectif jusqu’au dernier, on obtient le i ème effectif cumulé décroissant, par exemple : • Le tableau complet est comme suit : xi ni Ni Ni Fi Fi x1 x2 ⋮ Xi ⋮ xk n1 n2 ⋮ ni ⋮ nk n1 n1+ n2 ⋮ n1+n2+...+ni ⋮ n n n2+n3+...+nk ⋮ ni+ni+1+...+nk ⋮ nk f1 f1 + f2 ⋮ f1+ f2+...+fi ⋮ 1 1 f2 + f3+...+ fk ⋮ fi+ fi+1+...+ fk ⋮ fk Total n * 2. Comment calculer les effectifs cumulés ? Exemple : Dans un centre de vacances, l'âge des adolescents se répartit de la façon suivante : Âge Effectif [13 ; 14[ 8 [14 ; 15[ 12 [15 ; 16[ 16 [16 ; 17[ 14 ● Calcul des effectifs cumulé croissants (ECC) : Âge Effectif ECC [13 ; 14[ 8 8 [14 ; 15[ 12 20 [15 ; 16[ 16 36 [16 ; 17[ 14 50 TOTAL … ● Calcul des effectifs cumulé décroissants (ECD) : Âge Effectif ECD [13 ; 14[ 8 … [14 ; 15[ 12 … [15 ; 16[ 16 30 [16 ; 17[ 14 14 TOTAL … * Dans ce chapitre, on analysera quatre de ces paramètres qui sont : les moyennes, le mode, la médiane et le quantile. 1. Le mode Définition : On appelle Mode d'une série statistique une valeur du caractère dont l'effectif associé est le plus grand. Dans un nuage de points, le mode est la valeur dont le point est le plus haut. 1 .2 Détermination de la valeur du monde d’une série statistique : A) Caractère ou variable discontinue : Le mode se détermine très simplement, ainsi que l’on peut le voir dans l’exemple suivant : A partir d’un tableau : Procédure pour « identifier » le mode : 1°) Dans le tableau, on recherche l’effectif le plus important 2°) Faire correspondre la valeur du « xi » qui indiquera la valeur du monde : * Xi Effectif ni 10 15 20 25 30 35 40 2 3 8 17 13 5 3 TOTAL A partir d’un graphique : Sur le graphique de distribution, le mode correspond au « bâton » le plus élevé .sa valeur est donnée par l’axe des abscisses. Lorsqu’il n’y a qu’un mode. La série est dit « uninominale » B) Caractère ou variable continue : Le mode s’applique à la classe qui correspond à l’effectif maximal. Celle - ci s’appelle « classe modale ». Xi Effectif ni 100 à 110 110 à 120 120 à 130 130 à 140 140 à 150 8 22 38 12 6 TOTAL 86 Ici « 25 » Mode La classe modale * 2. médiane Définition : La médiane est la mesure de tendance centrale qui indique le centre de la série de données. En d'autres mots, c'est la valeur qui sépare une distribution ordonnée en deux groupes qui contiennent le même nombre de données. 2 .1) Détermination de la valeur de la médiane par le calcul. - On distinguera deux cas : la variable est continue (dit aussi : caractère quantitatif continu) ou la variable est discontinue (dit aussi : caractère quantitatif discret). - C'est le milieu d'une distribution lorsque les résultats sont placés par ordre croissant ou décroissant. Si le nombre de données est impair, la médiane est la donnée située au milieu. Utilisez la formule (n+1)/2 A) Détermination de la médiane dans une série statistique, dans le cas d’une variable continue :(organisation des données par classes). Exemple : Valeurs 2 ; 3 ;5 ;7 ;7 ;9 ; 11 ;15 ;15 ;17 ;19 20 ;23 ;25 ;27 Classe [0 ; 10 [ [ 10 ; 20 [ [ 20 ;30 [ Effectif : N = 14 6 5 4 La médiane de la série est 11+15 2 = 13 La classe médiane est donc [10 ; 20 [ ; 13 appartenant à cet intervalle * 2 .2) Détermination de la médiane par le graphique. La médiane partage l’histogramme en deux aires égales à ½. Elle dépend plus du rang des unités statistiques observées que des valeurs de la variable, et se trouve peu affectée par les variations des termes extrêmes. Ce que vous pouvez observer sur les deux représentations graphiques complémentaires. Prenons un exemple : une distribution statistique a été après un contrôle radar sur autoroute, on a classé les données ( regroupées en classes ) dans le tableau suivant : Vitesse ( km/h ) Nombre de véhicules [80 ; 100 [ [100 ; 120 [ [120 ; 130 [ [130 ; 140 [ [140 ; 150 [ [150 ; 170 [ [170 ; 190 [ 120 90 100 120 40 20 10 Total 500 Si on complète ce tableau à l’aide des ECD et ECC Vitesse ( km/h ) Nombre de véhicules ECC ECD [80 ; 100 [ [100 ; 120 [ [120 ; 130 [ [130 ; 140 [ [140 ; 150 [ [150 ; 170 [ [170 ; 190 [ 120 90 100 120 uploads/Geographie/ statistique-pdf.pdf