Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

A NEW MIXTILINEAR INCIRCLE ADVENTURE I Jean – Louis AYME 1 A B C Un cercle y rè

A NEW MIXTILINEAR INCIRCLE ADVENTURE I Jean – Louis AYME 1 A B C Un cercle y règne sans partage Résumé : nous présentons une San Gaku i.e. une énigme géométrique japonaise gravée sur une tablette votive, voire un cercle de Longchamps accompagné de nombreuses propriétés, de notes historiques, de commentaires et de références connues de l'auteur. Les figures sont toutes en position générale et les théorèmes cités peuvent tous être prouvés synthétiquement. Remerciements: l'auteur remercie tout particulièrement le professeur Ercole Suppa pour son attentive relecture de cet article. Abstract. We present a San Gaku i.e. Enigma geometric Japanese engraved on a votive tablet, or a circle of Longchamps accompanied many properties, historical notes, comments and references known to the author. The figures are all in general position and cited theorems can all be proven synthetically. Acknowledgements. the author thanks Professor Ercole Suppa for his attentive proofreading of this article. 1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 01/10/2010 ; jeanlouisayme@yahoo.fr 2 Sommaire I. Préfecture d'Iwate (Japon) 3 1. Une San Gaku de 1842 2. Le triangle d'or de Stanley Rabinowitz II. Gohierre de Longchamps ou la question 659 9 1. Une bissectrice intérieure 2. Première partie de la question 659 ou la polaire de A 3. Le résultat d'Etienne Deprez 4. L'alignement remarquable d'Eugène Lauvernay 5. Une droite de Longchamps 6. Début de la seconde partie de la Question 659 ou la "concourance" des droites de Longchamps 7. Fin de la seconde partie de la Question 659 ou M est l'isogonal de Na III. Deux "concourances" remarquables 33 1. Première "concourance" 2. Seconde "concourance" IV. Un cercle remarquable 39 1. Un quadrilatère harmonique 2. Un cercle tangent en un point de Longchamps 3. Un cercle remarquable V. Deux tangentes remarquables 45 1. Une autre San Gaku d'Iwate 2. Une variation sur cette San Gaku 3. La tangente de Léon Bankoff 4. Une tangente de l'auteur VI. Questions diverses 58 1. Une parallèle à (AI) 2. Avec le point de Feuerbach 3. Un parallélogramme 4. Axe radical d'un cercle de Longchamps et du cercle inscrit 5. Une parallèle à (AC) 6. Une situation de l'auteur 7. Un résultat de Paul Yiu VII. Deux cercles associés à un cercle de Longchamps 82 1. Les deux cercles associés 2. Deux tangentes aux cercles associés 3. Le P-cercle de Morley des cercles associés VIII. Annexe 89 IX. Archives 96 3 I. PRÉFECTURE D'IWATE (JAPON) 1. Une San Gaku 2 de 1842 VISION Figure : A B C 0 1a 1 Traits : ABC un triangle A-rectangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, 1 le cercle inscrit à ABC et 1a le A-cercle de Longchamps3 de ABC. Donné : le rayon de 1a est égal au diamètre de 1. 4 VISUALISATION A B C I R Q Oa E 0 1a 1  Notons Q, R les points de contact de 1a resp. avec (AC), (AB), I le centre de 1, Oa le centre de 1a et E le point de contact de 1 avec (AC). 2 Préfecture d'Iwate (Japon) 3 Cf. p. 10 4 Yuko Yasutomi, private circulation, Iwate (1982) 4  Scolies : (1) d'après II. 3. Le résultat de Deprez, I est le milieu de [QR] (2) le quadrilatère AROaQ étant un carré, I est le milieu de [AOa].  Par définition d'une tangente, (IE)  (AC) ; (AC)  (OaQ) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (IE) // (OaQ).  D'après l'axiome de passage IIIa, E est le milieu de [AQ].  D'après "Le petit théorème de Thalès" appliqué au triangle AOaQ, OaQ = 2.IE.  Conclusion : le rayon de 1a est égal au diamètre de 1. Note historique : cette San Gaku 5 de la préfecture d'Iwate (Japon) datant de 1842, a été reproposé par Léon Bankoff 6 en 1954 dans l'American Mathematical Monthly. Deux solutions 7 en ont été données, l'une s'appuyant sur le cercle des neuf points et l'autre, sur une approche analytique. Cette San Gaku a été présentée comme problème en 2001 dans la revue canadienne Crux Mathematicorum 8. Une San Gaku 9 analogue de la préfecture de Fukusima (Japon) datant de 1893, ne considère pas le cercle inscrit mais demande simplement de montrer que le diamètre du cercle 1a est égal à a + b - c où a et b sont les mesures de AB et AC et c celle de BC. Un peu d'histoire : en 1635, un puissant Shogun i.e. un seigneur féodal, tenait le mikado i.e. l'empereur du Japon en tutelle, interdisait à tout ressortissant du Japon de quitter l'île. Quatre années plus tard, il rompait toute relation avec l'Espagne et le Portugal qui étaient depuis longtemps présents dans les parages. Seuls les chinois et les hollandais purent continuer à commercer à distance. Durant la période Edo qui alla de 1603 à 1867, le Japon vécut sur lui- même. Les connaissances mathématiques n'arrivèrent plus et seul, par miracle, fut connu le traité de Yang Hui datant de 1261 qui sera traduit en japonais en 1661 par Seki Takakazu. Une coutume voulait que les géomètres japonais inscrivent leurs découvertes sur des tablettes de bois qu'ils pendaient dans les sanctuaires shintoïstes ou dans les temples bouddhistes à la gloire des Dieux10 et à l'honneur de leurs auteurs. Certaines divinités étaient supposées aimer les mathématiques et plus particulièrement les théorèmes de géométrie. Les historiens ont recensé environs 900 San Gaku, les plus anciens datant du XVIIème siècle. Si, dans la géométrie développée par les grecs, les arabes et les latins, le triangle a une situation privilégié, dans la géométrie dite des "Temples japonais", c'est le cercle qui occupe une position prépondérante. Sur la plupart des San Gaku ou tablettes votives en bois, sont gravés avec art de simples figures en couleurs accompagnées d'aucune démonstration mais impliquant le challenge "See if you can prove this !". Notons que c'est le professeur Hidetoschi Fukagawa du Lycée de la préfecture d'Aichi (Japon), une ville située entre Tokyo et Osaka, qui souhaitant améliorer ses cours en passionnant pour les San Gaku, se mit dans les années 70, à les traduire, à les recenser et même à en découvrir; cette passion lui a permis de soutenir une thèse à l'Académie des Sciences de Bulgarie. 5 Fukagawa H., Pedoe D., 2.3.3. Japanese Temple Geometry Problems Charles Babbage Research Centre (1989) ; ISBN 0-919611-21-4 6 Bankoff L., (proposer of) Problem E 1141, American Mathematical Monthly 61 (1954) 711 7 Solutions to Problem E 1141, American Mathematical Monthly 62 (1955) 444 8 Okumura Hiroshi and Watanabe Masayuki, Tangent circles in the ratio 2:1, Crux Mathematicorum (2001) 116-120 9 Fukagawa H., Pedoe D., 2.2.7. Japanese Temple Geometry Problems Hyogo (1967), Ichiro Yamamoto, private circulation 10 Le shintoïsme est habité par environ 800 dieux appelés kami 5 En 1989, Hidetoschi Fukagawa 11 et Dan Pedoe 12 publient le classique Japanese Temple Geometry Problems 13. En 1998, un article de fond sur ce même sujet est publié par Tony Rothmann dans le Scientific American 14 et en 2002, Fukagawa et John Rigby reviennent sur ce sujet en écrivant Traditional Japanes Mathematics of the 18th and 19th centuries. 2. Le triangle d'or de Stanley Rabinowitz VISION Figure : A B C Oa P 0 1a 3 4 5 Traits : ABC un triangle rectangle en A, 0 le cercle circonscrit à ABC, 1a le A-cercle de Longchamps15 de ABC, Oa le centre de 1a et P le point de contact de 1a et 0. Donné : ABC est d'or 16 si, et seulement si, (OaP) est parallèle à (AB). VISUALISATION NÉCESSAIRE 17 11 Fukagawa H., Rothman A., Sacred Geometry : Japanese Temple Geometry, Princeton University Press (2008) 12 Fukagawa H., Pedoe D., Japanese Temple Geometry Problems, The Charles Babbage Research Center, Winnipeg (1989) The Charles Babbage Research Center, P.O. Box 272, St. Norbert Postal Station, Winnipeg (MB) Canada R3V 1L6 13 Fukagawa, Pedoe, Japanese Temple Geometry Problems, The Charles Babbage Research Foundation, Winnipeg (1989) 14 Rothmann T., Japanese Temple Geometry, Sci. Amer. 278 (Mai 1998) 85-91 15 Cf. p. 10 16 Un triangle d'or est un triangle rectangle dont les côtés sont proportionnels à 3, 4 et 5 17 Rabinowitz S., Problème 703, Crux Mathematicorum (1982) 14 6 A B C O R Q Oa P 0 1a 1 3 4 5  Notons O le centre de 0, 1 le cercle inscrit dans ABC et Q, R les points de contact de 1a resp. avec (AC), (AB).  Scolies : (1) O est le milieu de [BC] (2) AROaQ est un carré (3) (OaQ) // (AB) (4) 1 a pour diamètre 2 et est inscrit dans AROaQ.  D'après la scolie 4, Q est le milieu de [AC] ; en conséquence, (OQ) (AC) ; AROaQ étant un carré, (AC) (OaQ) ; d'après l'axiome Iva des perpendiculaires, (OQ) // (OaQ) ; d'après le postulat d'Euclide, (OQ) = (OaQ).  Conclusion partielle : Oa, O, Q sont alignés.  0 et 1a étant tangent en P, P, Oa, O sont alignés.  D'après l'axiome uploads/Geographie/ mixtilinear1-pdf.pdf