De la loi géométrique au problème du collectionneur B. Meyer Niveau : Bac+1 Di

De la loi géométrique au problème du collectionneur B. Meyer Niveau : Bac+1 Di culté : ⋆⋆ Durée : 3h30 Rubrique(s) : Analyse (suites, limites), Probabilités (loi géométrique) . Au lycée, vous avez étudié en probabilité diérentes lois dont notamment la loi binomiale. Dans cet atelier est introduite une autre loi appelée la loi géométrique et étudiée dans le supérieur. En particulier grâce à cette loi de probabilité, vous pourrez résoudre le problème de nombreux collectionneurs. . . La petite histoire... Chaque jour, on achète un ÷uf en chocolat qui contient un jouet à l'intérieur. Celui-ci est donc inconnu avant la dégustation de ce chocolat. Ce jouet appartient à une collection d'un nombre xé de jouets. Une question naturelle est de savoir combien d'÷ufs il faut acheter pour terminer la collection ? Ce nombre est aléatoire alors on peut se poser une meilleure question : après combien d'achats peut-on espérer avoir ni la collection ? Monsieur et Madame Nedujoueur ont un ls portugais... On pourra aussi penser à des autocollants sportifs ou à des cartes à jouer (attrapez les tous !). Par la suite, nous allons supposer que les jouets sont répartis uniformément dans les ÷ufs. C'est-à-dire que si on ouvrait tous les ÷ufs d'un coup, on aurait autant de jouets de chaque sorte. Nous supposerons aussi qu'il y a indépendance entre les achats. C'est-à-dire que si l'on trouve un certain jouet dans un ÷uf, cela ne présage en rien le jouet qui se trouvera dans le prochain ÷uf que je dégusterai. Nous allons voir que même avec cette hypothèse le temps pour nir ma collection est assez long. Pour répondre à notre question les exercices sont structurés comme suit. Les exercices 1 et 2 traitent le cas où il n'y aurait que 2 jouets à collectionner. L'exercice 3 donne une formule pour calculer le temps moyen pour nir la collection dans le cas d'un nombre général de jouets à Réponse : Rui De la loi géométrique au problème du collectionneur Mat' les Ressources collectionner. Cette exercice nécessite des résultats techniques sur les suites et les limites dont la démonstration peut être eectuée à l'aide des exercices 6 et 7 qui peuvent être omis en première lecture. En n les exercices 4 et 5 donnent deux autres applications à cette étude : la première est  combien faut-il d'amis pour fêter un anniversaire tous les jours et  comment optimiser le coût de la collection complète si j'achète directement les jouets qu'il me manque (sachant que le prix sera plus élevé que les ÷ufs) . Commençons donc par traiter le cas le plus simple ; c'est-à-dire le cas où la col- lection ne contient que 2 jouets. La question qui nous intéresse est : combien d'achats faut-il eectuer pour avoir de bonnes chances de terminer la collec- tion. Ce nombre est aléatoire. Faisons donc quelques rappels de probabilités. On considère E une expérience aléatoire et Ωl'univers associé que l'on munit d'une probabilité P. Une variable aléatoire (réelle) X est simplement une ap- plication qui à tout événement élémentaire de l'univers associe un nombre réel. Autrement dit, X est une fonction de Ωdans R. Par la suite X sera toujours à valeurs dans N∗= {1, 2, 3, . . .}. La loi de X est simplement la donnée des P(X = k) pour tout entier k. Ces quantités véri ent alors lim n→+∞ n X k=0 P(X = k) = lim n→+∞P(X ∈{1, . . . , n}) = P(X ∈N∗) = 1. Notre question devient : quelle est la loi de la variable aléatoire T qui corres- pond au temps où ma collection est nie ? On peut voir que la question qui nous intéresse est proche de la suivante. On lance plusieurs fois une pièce de façon indépendante. À quel moment obtient-on notre premier pile ? En eet, si on appelle nos deux jouets pile et face, un ÷uf peut cacher un pile ou un face avec la même probabilité, ce que l'on peut rapprocher du jeu de lancer de pièce. Ainsi si j'ai d'abord le jouet face par exemple, le nombre de chocolats que je dois acheter pour avoir un nouveau jouet (ici pile) correspond au nombre de lancers à eectuer avec une pièce pour obtenir pile. Rappelons nalement que deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A et B) = P(A ∩B) = P(A) × P(B). Exercice 1 (Loi géométrique, cas p = 1/2). Supposons que l'on lance plusieurs fois une pièce équilibrée de manière indé- pendante. On note G le premier lancer où la pièce donne pile. Le but de cet exercice est de déterminer la loi de G. B. Meyer 2/15 Creative Commons : B Y : ⃝ $ \ ⃝ C ⃝ De la loi géométrique au problème du collectionneur Mat' les Ressources 1. Quelle est la probabilité qu'on obtienne  pile  au ne lancer ? face ? 2. Que signi e l'événement  G = 1  en terme d'issue du premier lancer ? En déduire P(G = 1). 3. Que signi e l'événement  G = 2  en terme d'issues des deux premiers lancers ? En déduire P(G = 2). 4. Plus généralement, calculer P(G = n) pour tout n ≥1. 5. Quelle est la probabilité de n'obtenir que des faces ? Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire G ? Exercice 2 (Loi géométrique, cas général). On considère un jeu avec plusieurs manches. À chaque manche, il n'y a que deux issues : on gagne ou on perd ; de plus, la probabilité de gagner est p ∈]0, 1[. Les manches sont indépendantes. On va déterminer la loi du nombre G de manches qu'il faut attendre pour voir arriver une première victoire. 1. Donner la loi de G lorsque p = 1/2. 2. Supposons maintenant que p soit quelconque. a. Quelle est la probabilité de perdre une manche ? b. Quelles valeurs peut prendre G ? c. Soit n ≥1. Interpréter l'événement  G = n  en terme de victoires et défaites aux n premières manches. d. Montrer que pour tout n ≥1, P(G = n) = (1 −p)n−1p. Commentaires sur l'Exercice 2 Si une variable aléatoire G véri e ∀n ≥1, P(G = n) = (1 −p)n−1 × p, pour un certain p ∈]0, 1[ alors on dit qu'elle suit une loi géométrique de paramètre p. On donne cette appellation car la suite des probabilités (P(G = n))n≥1 est une suite géomé- trique. Avant de revenir au problème de notre collection, rappelons et étendons la dé nition de l'espérance d'une variable aléatoire. Si une variable aléatoire X à valeurs entières ne dépasse pas un entier n alors son espérance est donnée par E[X] = n X k=0 k P(X = k) = P(X = 1) + 2P(X = 2) + · · · + nP(X = n). C'est une moyenne pondérée. Le terme "espérance" provient de l'étude des jeux de hasard. C'est aux XVIe et XVIIe siècles que Cardan, Fermat et Pascal posent les bases de ce qu'on B. Meyer 3/15 Creative Commons : B Y : ⃝ $ \ ⃝ C ⃝ De la loi géométrique au problème du collectionneur Mat' les Ressources va appeler les probabilités. Et l'une des questions prépondérantes était comment partager les gains d'un jeu lorsque la partie est interrompue à un moment quelconque. C'est ainsi que fut introduite l'espérance mathématique qui correspond au gain que l'on aurait pu espérer avoir. Lorsque X est à valeurs dans N, alors son espérance est dé nie par E[X] = lim n→+∞ n X k=0 k P(X = k) = P(X = 1) + 2P(X = 2) + · · · + nP(X = n) + . . . En particulier l'espérance peut valoir +∞. Attention cette dernière notion dépasse le pro- gramme mathématique de lycée (et même des premières années du supérieur). Pour des variables aléatoires X1 et X2, on a E[X1 + X2] = E[X1] + E[X2]. Cela se démontre en utilisant que la limite d'une somme est la somme des limites. On admettra pour l'instant que si G est une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p alors E[G] = 1 p. (∗) Cette a rmation sera démontrée avec les exercices 6 et 7. Cette dernière égalité est naturelle lorsque l'on pense à l'interprétation du jeu. En eet, E[G] = 1 p signi e qu'il faudra en moyenne 1/p parties pour espérer gagner. Par ailleurs on peut voir que plus j'ai de chances de gagner une manche (c'est-à dire plus p est grand), plus ma victoire sera rapide (c'est-à-dire plus E[G] = 1 p sera petit) et vice versa. Exercice 3 (Collection). On revient à notre problème initial. On achète des ÷ufs en chocolat contenant un jouet inconnu appartenant à une collection de N jouets diérents. On veut estimer le nombre moyen d'÷ufs qu'il faut acheter pour terminer la collection. On note T le nombre d'achats (aléatoire) qu'il faut pour terminer la collection. Le problème pour estimer ce nombre uploads/Geographie/ mlr-de-la-loi-geometrique-au-probleme-du-collectionneur.pdf

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Administrationgéométrique jouets l'exercice nombre problème
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