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23/10/2017 1 Statistiques Appliquées ZAKARIA BENJOUID Année Universitaire : 201

23/10/2017 1 Statistiques Appliquées ZAKARIA BENJOUID Année Universitaire : 2017/2018 Plan 2 Probabilité et lois usuelles Echantillonnage Estimation 23/10/2017 2 Bibliographie B. Goldfarb et C. Pardoux : « Introduction à la méthode statistique » Dunod. Fourdrinier D. : « Statistiques inférentielle » Dunod. Lejeune M. : « Statistiques, la théorie et ses applications » Springer. Shao J. « Matimatical statistics » Springer. … 3 Statistiques Descriptives 4 23/10/2017 3 Pourquoi étudier les statistiques ? Savoir présenter, décrire des données. Savoir tirer des conclusions sur des populations à partir de calculs conduits sur des échantillons. Savoir comment améliorer des processus. Savoir faire de “bonnes” prévisions. 5 Le matériau de départ NUMERO SALAIRE SEXE AGE ANC NIVEAU 1 129472 F 42 3 B 2 212696 M 54 10 B 3 210888 M 47 10 A 4 213692 M 47 1 B 5 202408 M 44 5 B 6 196132 M 42 10 A 7 97580 M 30 5 A 8 97580 F 52 6 A 9 172496 M 48 8 A 10 95900 F 58 4 A 11 212696 M 46 4 C 12 234060 M 36 8 C 13 225176 M 49 10 B 14 197532 F 55 10 B 15 179536 M 41 1 A 16 213716 F 52 5 B 17 186296 M 57 8 A 18 235872 F 61 10 B 19 212696 M 50 5 A 20 214508 M 47 10 B 21 196132 M 54 5 B 22 219924 M 47 7 A 23 250120 M 50 10 B 24 110100 F 38 3 A 25 97580 M 31 5 A 26 227536 M 47 10 A Un tableau de données… 6 23/10/2017 4 Définitions Caractère, variable Paramètre / Statistique x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Individu Elément de la population Echantillon Sous-ensemble de la population. Population Ensemble de référence 7 Etude d’un seul caractère variable nominale ordinale discrète continue qualitative quantitative 8 23/10/2017 5 Description de base  Un graphique  Des paramètres 9 L’analyse des tris à plat • Elle consiste à traiter une seule variable à la fois. Il s’agit d'analyse uni-variée. • Il est question de se concentrer sur une description des résultats. 10 23/10/2017 6 Analyse descriptive Caractéristiques de tendance centrales : Moyenne arithmétique : Xi : nombre de voyages à l’étranger Yi : représente des revenus i p i in x n X    1 1 11 Analyse descriptive Caractéristiques de dispersion : La variance : L’écart type : Le coefficient de variation (risque) i p i i n x x n x V 2 1 ) ( 1 ) (         p i i i x n x n x V 1 2 2 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( x v x   X x x ) ( ) (    12 23/10/2017 7 Présentations graphiques 13 Présentations graphiques 14 23/10/2017 8 Statistique descriptive Organisation, présentation et analyse des données en mettant les points importants en évidence. Statistique inférentielle Raisonner par inférence, prendre des décisions sur une population à partir d’un échantillon. 15 Applications 16 23/10/2017 9 Probabilité et lois usuelles Théories des probabilités : La théorie des probabilités est la partie la plus abstraite de la statistique. Elle traite des phénomènes aléatoires et s’est développée dans des salles de jeu, ce qui explique le fait que la majorité des exemples retenus sont empruntés aux jeux de hasard. 18 23/10/2017 10 La théorie des probabilités est l’intermédiaire entre la statistique descriptive qui traite des séries statistiques directement, et l’inférence statistique qui comprend les valeurs statistiques comme les indicateurs indirects de valeurs vraies mesurées par échantillonnage 19 Théories des probabilités But de la théorie des probabilités : développer un formalisme adapté à l’étude des phénomènes dans lequel le hasard intervient. « aléatoire » vient de « alea » signifiant « jeu de dés » en latin. 20 23/10/2017 11 Expérience Aléatoire 21 Exemples : On jette un dé et l'on observe le résultat obtenu. Si on lance trois fois de suite une pièce de monnaie, on peut distinguer 8 résultats possibles : PPP, PPF, ....,FFF. On jette une pièce de monnaie jusqu'à ce que le côté face sorte pour la première fois. Expérience Aléatoire 22 Définition : Une expérience est dite aléatoire ou stochastique s'il est impossible de prévoir avec certitude son résultat. En principe, on admet qu'une expérience aléatoire peut être répétée indéfiniment dans des conditions identiques son résultat peut donc varier d'une réalisation à l'autre. 23/10/2017 12 Expérience Aléatoire 23 Définition : Une expérience est dite donc aléatoire si : a- On ne peut pas prédire avec certitude son résultat b- On peut décrire l'ensemble de tous les résultats possibles. Expérience Aléatoire 24 Exemples : Si on jette un dé : Ω = {1;2;3;4;5;6} et card(Ω) = 6 A est l’événement "un nombre pair est tiré" alors A = {2;4;6} B est l’événement "un nombre impair est tiré" alors B = {1;3;5} C est l’événement "un nombre ≥ 4" alors C = {4;5;6} D est l’événement élémentaire "le plus petit nombre" alors D = {1} 23/10/2017 13 Variables aléatoires 25 Variables aléatoires Définition : Dans de nombreuses expériences aléatoires, nous sommes amenés à attacher un nombre réel à chaque issue de l'univers Ω. Une telle application X de Ω vers R est appelée variable aléatoire. 26 23/10/2017 14 Variables aléatoires discrètes Exemple 1 : On jette une pièce de monnaie deux fois de suite. L'univers est : Ω = {(p ; p) ; (p ; f) ; (f ; p) ; (f ; f)} Notons X la variable aléatoire indiquant le nombre de « faces » obtenues. 27 Variables aléatoires discrètes Exemple 1 : X peut prendre diverses valeurs : il s'agit donc bien d'une variable. Comme la valeur que prend X dépend de l'issue réalisée donc du hasard, X est donc aléatoire. 28 23/10/2017 15 Variables aléatoires discrètes Exemple 2 : Une urne contient trois boules numérotées 2 ; 3 et 5. On tire successivement avec remises deux boules de cette urne. Ω = {(2 ; 2) ; (2 ; 3) ; (2 ; 5) ; (3 ; 2) ; (3 ; 3) ; (3 ; 5) ; (5 ; 2) ; (5 ; 3) ; (5 ; 5)} Notons Y la variable aléatoire indiquant la somme des points obtenus. Y : (j ; k) → j + k 29 Variables aléatoires discrètes Remarque : Dans ces exemples, il est possible de calculer la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur donnée. Par exemple, la probabilité que X prenne la valeur 0 est 1/4. 30 23/10/2017 16 Variables aléatoires discrètes Définition : On dit qu'une variable aléatoire est discrète si elle ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. 31 Variables aléatoires discrètes En général : Considérons Ω l'univers attaché à une expérience aléatoire et X une variable aléatoire pouvant prendre un nombre fini de valeurs. Si à chacune de ces valeurs nous associons la probabilité de l'événement correspondant, nous obtenons alors la loi de probabilité ou la distribution de probabilité de la variable aléatoire X. 32 23/10/2017 17 Variables aléatoires discrètes Notation : La variable X peut prendre les valeurs x1 ; x2 ; ... ; xn. p1 est la probabilité que X prenne la valeur x1 : p1 = P(X = x1) p2 est la probabilité que X prenne la valeur x2 : p2 = P(X = x2) ... pn est la probabilité que X prenne la valeur xn : pn = P(X = xn) Ces valeurs peuvent être présentées dans un tableau appelé tableau de distribution de X : 33 Variables aléatoires discrètes Notation : 34 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 23/10/2017 18 Variables aléatoires discrètes Remarques : Dans un tableau de distribution, Il est possible de visualiser ces distributions à l'aide de diagrammes en bâtons. 35 Moyenne ou espérance mathématique On lance un dé une fois. Notons X la variable aléatoire indiquant le nombre de points affiché par le dé. En lançant un très grand nombre de fois le dé, quelle sera en moyenne le nombre de points obtenus ? 36 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 23/10/2017 19 Moyenne ou espérance mathématique Définition : Considérons X une variable aléatoire pouvant prendre les valeurs x1 ; x2 ; ... ; xn avec des probabilités respectives p1 ; p2 ; ... ; pn. L'espérance mathématique de X est : 37 Moyenne ou espérance mathématique Pour le dé : 38 23/10/2017 20 Variance et écart-type Considérons trois variables aléatoires dont les distributions sont représentées ci-dessous. 39 40 23/10/2017 21 Variance et écart-type La variance de X, notée uploads/Geographie/ statistiques-appliquees-s5-chap-1.pdf