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République Algérienne Démocratique et Populaire Université Ferhat Abbas Setif1

République Algérienne Démocratique et Populaire Université Ferhat Abbas Setif1 Faculté des Sciences Département de Mathématiques. THÈSE Présentée en vue de l’obtention du diplôme de Doctorat en Mathématiques Option : Équations aux Dérivées Partielles Quelques Problèmes de Transmission d’Ondes et d’Equations d’Ondes Visco-élastiques avec Retard et un Problème d’Evolution Présentée par AISSA BENSEGHIR Directeur de Thèse : Belkacem Said-Houari Dr(HDR) Alhosn University, UAE Co-Directeur de thèse : Mircea Sofonea Prof Université de Perpignan France 6 Avril 2017 Jury M. Salah Drabla Président Prof UFA Setif1 M. Hamid Benseridi Examinateur Prof UFA Setif1 M. Seddik Djabi Examinateur Prof UFA Setif1 M. Azeddine Rahmoune Examinateur MCA UBB Bordj M. Abdelbaki Merouani Invité Prof UBB Bordj M. Abdelkrim Merzougui Invité MCA UMB M’sila Remerciements Je voudrais remercier mon directeur de thèse, Dr. Belkacem Said-Houari, qui m’a ou- vert la porte pour pénétrer ce champs de recherche en m’acceptant comme candidat au doctorat, en me proposant un sujet très riche en termes de problèmes ouverts per- mettant de réaliser plusieurs travaux. En m’aidant, il a fait de très grand eﬀort pour publier mon premier article. Je voudrais remercier mon co-directeur de thèse Prof. Mircea Sofonea qui m’a accepté dans son laboratoire à l’université de Perpignan pour une période de dix-sept mois, il m’a aidé à publier deux articles en très peu de temps en proposant des sujets complé- mentaires. Il a motivé chaque étape de mon travail avec des commentaires pertinents, il n’a jamais cessé de m’aider à progresser dans mes recherches. Il m’a également donné l’occasion de participer, avec une présentation orale, au colloque international (ETAMM) qui s’est déroulé du 30 mai au 3 juin 2016 à l’université de Perpignan. Sans l’aide et les conseils de ces deux personnes, ce travail n’aurait pas été possible. Je remercie profondément le président du jury, Prof. Salah Drabla et les examina- teurs : Prof. Seddik Djabi, Prof. Abdelhamid Benseridi, Prof. Abdelbaki Merouani, Dr. Abdelkrim Merzougui, et Dr. Azeddine Rahmoune pour avoir accepté d’évaluer cette thèse et pour leurs précieux commentaires et suggestions. Je suis très reconnais- sant pour la lecture attentive du manuscrit qui s’est améliorée de manière signiﬁcative et ce dans une courte période. Mes vœux pour mes parents une heureuse et longue vie. Enﬁn mes remerciements sensibles vont à ma femme pour ses honorables soutiens dans les moments les plus diﬃciles me poussant et m’encourageant à aller au-delà de mes capacités. ii Abstract Cette thèse est consacrée à l’étude de, la stabilité et du taux de décroissance de la solution, de certains problèmes de transmission d’ondes et d’équation des ondes visco- élastique avec retard. Dans certains cas le retard est considéré comme une fonction de temps. Ainsi que l’étude d’existence et d’unicité de la solution faible d’un problème aux limites non-linéaire dépendant d’un problème variationnel aux limites. La première partie de cette thèse se compose de trois chapitres. Dans le chapitre 2, on considère un système de transmission avec retard. Nous montrons qu’il est bien posé et puis nous prouvons la stabilité exponentielle de la solution en fonction du poids d’amortissement linéaire et le poids de la durée du retard. Dans le chapitre 3, le résultat du chapitre est étendu à un système d’équations d’ondes visco-élastiques avec retard où un résultat concernant l’existence et la stabilité des so- lutions a été obtenu. Dans le chapitre 4, nous prouvons la stabilité d’un problème de transmission avec retard et un terme de mémoire, mais dans ce cas le retard est considéré comme une fonction de temps. La deuxième partie est consacrée à l’étude d’un modèle mathématique de contact. Dans le chapitre 5, on introduit un modèle mathématique qui décrit l’évolution d’une plaque visco-élastique en contact de friction avec la fondation, nous dérivons l’inégalité variationnelle pour le champs de déplacement, puis nous démontrons l’existence de la solution faible. iii Table des matières Introduction i 1 Préliminaires d’analyse fonctionnelle 16 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Déﬁnitions et propriétés élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Résultats utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Le Théorème de Stampacchia et Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Éléments d’analyse non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Opérateurs Monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 Sous-diﬀérentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Inéquations variationnelles elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Inéquations Variationnelles à Terme de Mémoire . . . . . . . . . . . . 25 1.6.1 Espaces des fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.2 Inégalités quasi-variationnelles à terme de mémoire . . . . . . . 27 1.7 Semi-groupes d’opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.7.1 Deﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.7.2 Générateur inﬁnitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.7.3 Le théorème de Hille-Yosida et Lumer-Philips . . . . . . . . . . 34 1.8 Le théorème de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.8.1 Déﬁnition et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.8.2 Le théorème de Hille-Yosida dans les espaces de Banach . . . . . 36 i TABLE DES MATIERES I Problèmes de Transmission 38 2 Décroissance des équations des ondes de transmission avec retard 39 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Existence et unicité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.1 Première méthode : Méthode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.2 Deuxième méthode : La théorie des semi-groupes . . . . . . . . 48 2.3 Décroissance exponentielle de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Existence et unicité de la solution d’un problème de transmission à terme visco-élastique avec retard 59 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Existence et unicité de la solution du problème posé . . . . . . . . . . . 62 3.3 Décroissance de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4 Décroissance pour un problème de transmission avec mémoire et terme de retard en fonction de temps 72 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2 Préliminaires et principaux résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3 Décroissance générale de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 II Problèmes aux limites 86 5 Un Problème aux limites d’évolution 87 5.1 Introduction . . . uploads/Geographie/ these-aissa-benseghir.pdf