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SUITES DE NOMBRE REELS Dr Euloge KOUAME © UVCI 2017 Aout 2017 Version 1 Table d

SUITES DE NOMBRE REELS Dr Euloge KOUAME © UVCI 2017 Aout 2017 Version 1 Table des matières Objectifs 5 I - I. Généralités 7 A. I-1. Définition d'une suite..............................................................................7 B. II-2. Suite majorée, minorée, bornée.............................................................7 C. II-3. Monotonie............................................................................................8 D. Exercice......................................................................................................9 II - II. Limites 11 A. II-1. Limite finie, Limite infinie.....................................................................11 B. II-3. Propriétés des limites..........................................................................12 C. II-4. Formes indéterminées.........................................................................13 D. II-5. Limite et inégalités.............................................................................13 E. II-6. Existence de Limites............................................................................13 F. Exercice....................................................................................................14 G. Exercice....................................................................................................14 III - III. Suites Remarquables 15 A. III-1. Suite Arithmétique.............................................................................15 B. III- 2. Suite Géométrique............................................................................16 C. Exercice : Déterminer la limite des suites suivante.........................................17 D. Exercice....................................................................................................17 E. Exercice....................................................................................................17 F. Exercice....................................................................................................17 G. Exercice....................................................................................................18 Ressources annexes 19 3 Solution des exercices 21 Bibliographie 23 Webographie 25 4 Objectifs À la fin de cette leçon, vous serez capable de:  définir une suite de nombres ;  connaître les conditions de convergence et la limite d'une suite ;  manipuler les suites arithmétiques et géométriques. 5 I - I. Généralités I I-1. Définition d'une suite 7 II-2. Suite majorée, minorée, bornée 7 II-3. Monotonie 8 Exercice 9 A. I-1. Définition d'une suite Définition Une suite est une application u : ℕ→ℝ. Pour n∈ℕ, on note u(n) par un et on l'appelle n-ème terme ou terme général de la suite. La suite est notée u, ou plus souvent (un)n∈ℕ ou simplement (un). Il arrive fréquemment que l'on considère des suites définies à partir d'un certain entier naturel n0 plus grand que 0, on note alors (un)n>n0. Exemple  (√n)n≥0 ,estla suite determes :0,1,√2 ,√3 ,...  (-1)n, est la suite qui alterne +1, -1, +1, -1,. . . Définition : Suite Extraite Soit une suite (un)n∈ℕ. On appelle suite extraite de un toute suite (uσ(n))n∈ℕ, où σ est une application strictement croissante de N dans N. Exemple  u2n et u2n+1 sont des suites extraites de un  un2 est une suite extraite de un B. II-2. Suite majorée, minorée, bornée 7 Définition Soit (un)n∈ℕ une suite:  (un)n∈ℕ est majorée si ∃M ∈ℝ,∀n∈ℕ,un⩽M .  (un)n∈ℕ est minorée si ∃m∈ℝ,∀n∈ℕ,un≥m .  (un)n∈ℕ est bornée si elles est majorée et minorée c'est a dire ∃M ∈ℝ,∀n∈ℕ,|un|⩽M . C. II-3. Monotonie Définition Soit (un)n∈ℕ une suite:  (un)n∈ℕ est croissante si ∀n∈ℕ,un+1≥un.  (un)n∈ℕest strictement croissante si ∀n∈ℕ,un+1>un.  (un)n∈ℕest décroissante si ∀n∈ℕ,un+1⩽un.  (un)n∈ℕstrictement décroissante si ∀n∈ℕ,un+1<un.  (un)n∈ℕ est monotone si elle est croissante ou décroissante.  (un)n∈ℕ est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. Remarque  (un)n∈ℕ est croissante si et seulement si ∀n∈ℕ,un+1−un≥0.  Si est une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si ∀n∈ℕ, un+1 un ≥1 . Exemple  La suite (un) définie par un=(-1)n/n pour n>1, n'est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par 1/2 et minorée par -1.  La suite ( 1 n) n≥1 est strictement décroissante. Elle est majorée par 1 (borne atteinte pour n = 1), elle est minorée par 0 mais cette valeur n'est jamais atteinte. I. Généralités 8 D. Exercice 1. La suite ( n (n+1))n∈ℕ est-elle monotone ? Est-elle bornée ? 2. La suite ( (nsin(n!)) (1+n 2) )n∈ℕ est elle bornée? 3. Réécrire les phrases suivantes en une phrase mathématique. (a) (un)n∈ℕest majorée par 7. (b) (un)n∈ℕest constante. (c) (un)n∈ℕest strictement positive à partir d'un certain rang. (d) (un)n∈ℕn'est pas strictement croissante. 4. Est-il vrai qu'une suite croissante est minorée ? Majorée ? 5. Soit x > 0 un réel, montrer que la suite ( x n (n!))n∈ℕ est décroissante à partir d'un certain rang I. Généralités 9 II - II. Limites II II-1. Limite finie, Limite infinie 11 II-3. Propriétés des limites 12 II-4. Formes indéterminées 13 II-5. Limite et inégalités 13 II-6. Existence de Limites 13 Exercice 14 Exercice 14 A. II-1. Limite finie, Limite infinie Soit (un)n∈ℕ une suite. Définition La suite (un)n∈ℕ a pour limite un réel l si : pour tout ε > 0, il existe un entier naturel N tel que n> N alors |un-l| < ε. ∀ε≥0,∃N ∈ℕ,∀n∈ℕ,(n≥N ⇒|un−l| ⩽ε). On dit aussi que la suite (un)n∈ℕtend vers l . Autrement dit un est proche d'aussi près que l'on veut de l a partir d'un certain rang. Définition 1. La suite (un)n∈ℕ tend vers + ∞ si : ∀A>0,∃N ∈ℕ,∀n∈ℕ,(n≥N ⇒un≥A). 2. La suite (un)n∈ℕ tend vers - ∞ si : ∀A>0,∃N ∈ℕ,∀n∈ℕ,(n≥N ⇒un≤−A). Définition Une suite (un)n∈ℕ est convergente si elle admet une limite finie. Elle est divergente sinon (c'est-à-dire soit la suite tend vers + ∞ ou - ∞ , soit elle n'admet 11 pas de limite). On parlera de la limite, si elle existe, car il y a unicité de la limite : Proposition 1. Si une suite est convergente, sa limite est unique. B. II-3. Propriétés des limites Proposition 2. Toute suite convergente est bornée. Remarque La réciproque est fausse. Exemple de la suite (-1)n qui est bornée mais non convergente car égale a 1 si n pair et -1 si n impair Proposition 3. Si un est convergente, toute suite extraite de un converge et tend vers la même limite. Méthode La contraposée de cette proposition permet de montrer qu'une suite diverge : il suffit pour cela d'en extraire deux suites qui convergent vers deux limites différentes. ( illustration par la remarque précédente). Proposition 4. (Opérations sur les limites) Proposition 5. (Opérations sur les limites infinies) Exemple la suite √n tend vers +∞ donc la suite (1/√n) tend vers 0. Proposition 6. Si la suite un est bornée et limn +∞ → vn = 0 alors limn +∞ → (un × vn) = 0. Exemple Si un = cos(n) et vn = (1/√n) alors limn +∞ → (un × vn) = 0. II. Limites 12 C. II-4. Formes indéterminées Dans certaines situations, on ne peut rien dire à priori sur la limite d'une suite, il faut faire une étude au cas par cas. Exemple D. II-5. Limite et inégalités Proposition 7. Exemple Montrer en utilisant le théorème de Gendarme la limite de la suite u n= (cos x)/n pour tout n non nul. Correction :gendarme exple.png (cf. gendarme exple p 19) E. II-6. Existence de Limites Proposition 8. - Toute suite croissante et majorée est convergente - Toute suite décroissante et minorée est convergente Définition : Suites adjacentes On dit que deux suites réelles un et vn sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante et si limn +∞ → (un - vn) = 0. Proposition 9. Deux suites réelles adjacentes sont convergentes et ont la même limite. Complément : Limites utiles Soit a un reel > 1 et n un entier ≥ 1 II. Limites 13 lim n→∞ a n n k =+∞. lim n→∞ n! a n =+∞. lim n→∞ n n n! =+∞. F. Exercice [Solution n°1 p 21] Soient un et vn deux suites réelles et a un réel. Quelles sont les assertions vraies ? si (|un|) converge vers 0, alors (un) converge vers 0. si (|un|) converge vers a , alors (un) converge vers a ou -a . si (un) converge vers a , alors (|un|) converge vers | a |. si (un) est a termes strictement positif, alors a est strictement positif. si (vn) converge vers 0, alors (unvn) converge vers 0. G. Exercice [Solution n°2 p 21] Soit (un) une suite réelle. Les énoncés suivants sont-ils exacts ? Si (un) converge, alors elle est monotone Si (un) diverge, alors elle est monotone Si (un) diverge, alors elle est non bornée Si (un) est croissante et majorée, alors elle converge. II. Limites 14 III - III. Suites Remarquables III III-1. Suite Arithmétique 15 III- 2. Suite Géométrique 16 Exercice : Déterminer la limite des suites suivante 17 Exercice 17 Exercice 17 Exercice 17 Exercice 18 A. III-1. Suite Arithmétique Définition Une suite (un)n∈ℕ est dite arithmétique s'il existe un réel r appelé raison de la suite tel : pour tout n∈ℕ, un+1 = un + r. Remarque  un est constante si r = 0.  Elle est strictement croissante si r > 0 et strictement décroissante si r < 0.  Pour tout n∈ℕ, un = u0 +nr , et plus généralement : pour tout entier (p,q), un = up + (n-p)r.  Réciproquement, si le terme général d'une suite s’écrit un = a +nb, alors (un)n∈ℕ est une suite arithmétique de premier terme u0 = a et de raison b. Proposition 10. La suite (un)n∈ℕest arithmétique ⇔Pour tout n∈ℕ, un + un+2 = 2un+1 . (prouvez en appliquant la définition) Définition On dit que trois réels a, b, c sont en progression arithmétique s'ils sont des termes successifs d'une suite arithmétique : cela équivaut a dire que a + c = 2b. 15 Proposition 11. La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique un de raison r est : S n=∑ k=0 n−1 uk=nu0+ n(n−1) 2 r= n 2 (u0+un−1) Plus généralement, la somme de n termes successifs est : S n= ∑ k =m m+ n−1 uk= n 2 (um+um+n−1) Exemple S9= 2 uploads/Geographie/ ana-l2-papier.pdf