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Notion de Probabilité Page 1 sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Technique NOTI

Notion de Probabilité Page 1 sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Technique NOTION DE PROBABILITÉ Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I– Introduction : 1°) Exemple : On lance 2 fois en l’air un dé non pipé (normal), x et y font un pari. Si 66 apparaît alors x gagne 600Frs. Si 4 ou 5 apparaît alors y gagne 300Frs. Qui est favorisé dans ce jeux ?. On constate que x a « une chance » sur 6 de gagner 600Frs. Par contre y a « deux chances » sur 6 de gagner 300Frs. 6 numéros peuvent apparaître quand on lance un dé en l’air : c’est ce qu’on appelle les cas possibles. L’ensemble des cas possibles forment l’Univers de probabilité Ω ; Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 } . Dans le cas de y, 2 numéros lui permettent de gagner 300Frs. On dit qu’il y’a 2 cas favorables pour y. Conclusion : Dans cet exemple l’issue de l’opération « lancer le dé en l’air » n’est pas certaine, on dit que c’est une opération aléatoire. 2°) Définitions ou vocabulaire : - Cas possibles = résultats d’une épreuve : - Univers de probabilité = ensemble de cas possibles ; - Cas favorables = situation qui est favorable ; - Évènement = sous-ensemble de l’univers de probabilité ; Exemple1 : Dans le lancé de dé Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } un évènement A={1; 3 ;6}. Pour y les cas favorables sont : 4 et 5 ; B = {4 ; 5} est un évènement favorable ; C ={4} est un évènement favorable. - Évènement élémentaire ou éventualité = sous-ensemble de Ω ayant un seul élément. Exemple2 : On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie normale. Déterminer le nombre de cas possibles. Le nombre de cas possible Ω = {PPP ; PFP ; FFP ; FFF ; FPF ; PFF ; FPP ; PPF} Un cas possible est : {3 lancers} → {P, F} le nombre d’application : 23 = 8 ; X = {PFP} est une éventualité. - Évènement impossible = c’est un évènement qui ne peut pas se réaliser ; il est noté φ. Notion de Probabilité Page 2 sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Exemple : On tire au hasard 2 cartes d’un jeux normal de 32 cartes. Le nombre de cas favorables est C 2 32 . « Avoir 2 As de cœur » est un évènement impossible. - Évènement certain = évènement qui se réalise à coup sûr au cours d’une épreuve Par exemple « Avoir Pile (P) ou bien Face (F) en lançant une pièce de monnaie en l’air ». - Évènements équiprobables = évènements ayant les même chances de réalisation. Exemple : On lance en l’air une pièce de monnaie 2 fois. Le nombre de cas possibles est 2²=4. Ω = {PP ; PF ; FF ; FP}. Les évènements A = « avoir 0 fois P » et B = « avoir exactement 2 fois F » sont 2 évènements équiprobables. II– Probabilité : Soit un Ω univers d’éventualités équiprobables (on ne peut pas discerner les éventualités qu’après l’épreuve). Posons Card Ω = n. Soit A un évènement de Ω tel que cardA = k . - Définition : La probabilité de réalisation de A est k réel notée P(A) définie par : . P(A) = Possibles cas de Nombre Favorables cas de Nombre n k = . k ≤ n ⇒ n k ≤ 1 = n n ⇒ ) (A P ≤ 1 ; k ≥ 0 ⇒ n k ≥ n 0 = 0 ( ) 0 ≠ n ⇒ 0 ) ( ≥ A P d’où 0 ≤ P(A) ≤ 1. Remarques : R1) La probabilité d’un évènement certain est égal à 1 ; P(Ω) = 1 = n n . R2) La probabilité d’un évènement impossible est égal à 0. Exemple : Dans un jeu normal de 32 cartes, on tire au hasard sans remise 3 cartes. Calculer la probabilité d’avoir exactement 2 Rois et 1 As parmi les 3 cartes tirées. Réponse : le nombre de cas possibles est C 3 32 et le nombre de cas favorable est : C × 2 4 C1 4 . La probabilité de A = « d’avoir deux Rois et un As » est : 004 , 0 620 3 155 32 24 ) ( 3 32 1 4 2 4 = = × = × = C C C A P . Notion de Probabilité Page 3 sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Technique III– Probabilité conditionnelle : Soit Ω un univers d’éventualités, A et B 2 évènements de Ω. 1°) Évènement Somme : a) Définition 1 : L’évènement somme de A, B est l’évènement noté :A∪B « A ou B » qui est réalisé si et seulement si l’un au moins des évènements A ou B est réalisé. Exemple : On lance en l’air un dé normal. C= « avoir 5 ou 4 » est la somme des évènements A= « avoir 5 » ; B = « avoir 4 » ; C = A∪B. b) Définition 2 : On dit que 2 évènements A et B sont incompatibles si et seulement si ils ne peuvent pas se produire en même temps. Exemple : Dans le lancé d’un dé, A= « avoir 5 » ; B = « avoir 4 » ; A et B sont incompatibles, A∩B = φ. c) Théorème 1 : Soient A et B 2 évènements incompatibles d’un univers Ω. . P (A∪B) = P(A) + P(B) . Démonstration Le nombre de cas possibles est card Ω = n ; n ≠ 0. Le nombre de cas favorables : posons cardA = k et cardB = m. Card(A∪B) = cardA + cardB – card(A∩B) ; A∩B = φ ⇒ card(A∪B) = k + m. P (A∪B) = n m n k n m k + = + = P(A) + P(B). Exemple: On tire au hasard 2 cartes d’un jeu normal de 32 cartes. Calculer la probabilité d’avoir 2 Dames ou 2 Rois. Le nombre de cas possibles est C 2 32 . Soit C = « avoir 2D ou 2R » et soient les évènements A = « avoir 2D » ; B = « avoir 2R ». A et B sont incompatibles A∩B = φ. Donc P (A∪B) = P (A) + P (B). P(A) = 2 32 2 4 C C et P(B) = 2 32 2 4 C C ; P (A∪B) = 2 32 2 4 C C + 2 32 2 4 C C = 2 2 32 2 4 C C . Notion de Probabilité Page 4 sur 5 Adama Traoré Professeur Lycée Technique 2°) Évènement Contraire : Soit Ω un univers d’éventualités, A et B deux évènements de Ω. a) Définition 3 : On dit que l’évènement B est l’évènement contraire de A si et seulement si,    = A B Notation pas est l ne B si réalisé est A et pas est l ne A si réalisé est B : ' ' . – Exemple 1 : Dans le lancé d’une pièce de monnaie, soient A = « avoir P » et B = « avoir F » ; B A et A B = = . b) Théorème 2 : Soit A un évènement d’un univers Ω. ) ( 1 ) ( A P A P − = . Démonstration ) ( 1 ) ( ' ; 1 ) ( ) ( ) ( , ; A p A p où d A p A p A A p A A A A − = = + = Ω = Φ = U U I . Exemple 2 : i) Dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité pour qu’un joueur recevant 5 cartes au hasard ait au moins 1 cœur ? ii) Même question avec au moins 2 cœurs ? Solution : i) A = « avoir au moins 1 cœur » A = « avoir 0 cœur parmi les cartes tirées ». P(A) + P( A ) = 1. Calculons P( A ) Nombre de cas possibles est C 5 32 ; nombre de cas favorables C 5 24. P( A ) = 5 32 5 24 C C . Donc P (A) = 1 – p ( A ) = 1 – 5 32 5 24 C C . ii) A = « avoir au moins 2 cœurs » A = « avoir 0 cœur ou 1 cœur ». P(A) + P( A ) = 1. Calculons P( A ) B = « avoir 1 cœur parmi les cartes tirées » ; C = « avoir 0 cœur parmi les cartes tirées » . B∪ C = A et B∩ C = φ donc P( A )= P(B) + P(C). - P(B) : nombre uploads/Geographie/ proba-1.pdf