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10/2/21 03:56 PM 1 R.DAANOUN 0/. Introduction I/. Estimation II/.Espérance math

10/2/21 03:56 PM 1 R.DAANOUN 0/. Introduction I/. Estimation II/.Espérance mathématique d’une moyenne III/.Espérance mathématique d’une proportion IV/. Estimation ponctuelle d’un paramètre V/. Distribution d’échantillonnage VI/. Distribution de probabilité de la variable aléatoire VII/. Estimation par intervalle de confiance de µ VIII/. Intervalle de confiance pour une proportion IX/. Taille de l’échantillon garantissant la précision de l’intervalle de confiance ECHANTILLONAGE ET ESTIMATION 10/2/21 03:56 PM R.DAANOUN 2 0/. Introduction Statistique inférentielle Inférentielle du nom inférence synonyme de déduction c’est-à-dire que à partir des données d’un échantillon on pourra déduire les paramètres d’une population Statistique inférentielle Elle développe des procédés permettant de généraliser à toute une population des résultats observés sur un échantillon, tout en étant capable de mesurer les chances que ces généralisations s’avèrent exactes. 10/2/21 03:56 PM 3 R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 4 I/. Estimation Voici la définition de quelque termes que nous utiliserons dans ce chapitre. Définition 1: On appelle PARAMETRE toute mesure calculée à partir de l’ensemble des données de la population. Définition 2: On appelle STATISTIQUE toute mesure calculée à partir des données échantillonnales. Définitions 3: On appelle ESTIMATION d’un paramètre le procédé par lequel on cherche à déterminer la valeur d’un paramètre d’une population. Définition 4: On appelle ESTIMATEUR la statistique utilisée pour effectuer l’estimation; c’est une variable aléatoire. Définition 5: On appelle VALEUR ESTIMEE la valeur que prend l’estimateur une fois l’échantillon tiré; c’est une valeur de la variable aléatoire que constitue l’estimateur. R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 5 Statistique descriptive : Résumer les mesures sur un échantillon (moyenne, variance,...) Représenter les mesures (histogramme, distribution) Statistique inférentielle : Généraliser les propriétés d’un échantillon à une population en prenant en compte les fluctuations d’échantillonnage il faut modéliser les observations (par des variables aléatoires) : on fait appel à la théorie des probabilités Tests d’hypothèses : Contrôler la validité d’un modèle Comparer un échantillon à une référence Statistique décisionnelle : Savoir prendre une décision alors que les résultats sont exprimés en termes de probabilité (i.e. de pourcentage de chances, de risques) R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 6 II/.Espérance mathématique d’une moyenne Théorème 1: La moyenne d’échantillon est un estimateur sans biais de la moyenne de la population à laquelle il appartient, c’est-à-dire Exemple 1: Soit la population {4,5,6,8}. Dans cette population, considérons la variable aléatoire représentant la moyenne d’un échantillon de taille 2 tiré avec remise. . ) ( __ µ X E  4 4 4 5 4,5 6 5 8 6 5 4 4,5 5 5 6 5,5 8 6,5 6 4 5 5 5,5 6 6 8 7 8 4 6 5 6,5 6 7 8 8 _ 2 X R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 7 D’où la distribution de probabilité suivante: On a donc E(X) = 4 (1/16) + 4,5 (2/16) + ……….. +8 (1/16) = 5,75 De plus la moyenne de la population est µ = (4+5+6+8)/4 = 5,75 Ce qu’il fallait vérifier. x 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 8 f(x) 1/16 2/16 3/16 2/16 3/16 2/16 2/16 1/16 R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 8 III/.Espérance mathématique d’une proportion Théorème 2: La proportion d’individus présentant un caractère donné dans un échantillon est un estimateur sans biais de la proportion des individus dans la population à laquelle appartient l’échantillon, c’est-à-dire Exemple 2: Soit la population {4,5,6,8}. Dans cette population, considérons la variable aléatoire représentant la proportion de nombres impair dans un échantillon de taille 2 tiré avec remise. L’ensemble des résultats possibles est:   ) ( __ P E 4 4 0/2 5 1/2 6 0/2 8 0/2 5 4 1/2 5 2/2 6 1/2 8 1/2 6 4 0/2 5 1/2 6 0/2 8 0/2 8 4 0/2 5 1/2 6 0/2 8 0/2 2 _ P R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 9 D’où la distribution de probabilité suivante: On a donc E(P) = 0 (9/16) +(1/2) (6/16) + 1 (1/16) = ¼ De plus, la proportion des nombres impairs dans la population est Ce qu’il fallait vérifier. P 0 1/2 1 f(P) 9/16 6/16 1/16 4 1   R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 10 IV/. Estimation ponctuelle d’un paramètre Une estimation ponctuelle d’un paramètre consiste à évaluer la valeur de ce paramètre à partir d’une valeur unique déterminée sur un échantillon. Il est à noté que la statistique utilisée doit satisfaire un certain nombre de critère à fin de bien représenter le paramètre à estimer. On a vu celui de l’estimateur sans biais, le reste de ces critères sera exposer ultérieurement. R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 11 V/. Distribution d’échantillonnage Une estimation ponctuelle une opération facile à réaliser. cependant les résultats trouvés qui sont censés données une image fidèle de la population changent de valeurs à chaque fois qu’on change d’échantillon et par conséquent les chances qu’ont ces estimateurs d’être exactes sont très faibles. Il convient donc de pouvoir estimer un paramètre tout en étant capable d’évaluer les chances qu’a cette estimation de se réaliser. Pour cela, nous effectuons ce qu’on appelle une estimation par intervalle de confiance d’un paramètre de la population. Le problème consiste donc à trouver les bornes d’un intervalle tout en fixant à l’avance la probabilité pour que le paramètre tombe dans cet intervalle. Avant d’atteindre cet objectif, il est nécessaire d’étudier la distribution d’échantillonnage de la statistique (variable aléatoire) que l’on utilise comme estimateur. Les résultats sont donnés par les deux théorème suivants: R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 12 Théorème 3: La variable aléatoire , représentant la moyenne d’échantillon de taille n, possède les caractéristiques Si l’une des deux conditions suivantes est vérifiée: a) Tirage avec remise dans une population finie de taille N; b) Tirage avec ou sans remise dans une population très grande ou infinie. N.B: une population est grande dés que n ≤0,05 N; c’est-à-dire que la taille de l’échantillon est inférieur à 5% de la taille de la population. n X V et µ µ X E X X   2 2 __ __ __ __ ) ( ) (     _ X R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 13 Théorème 4: La variable aléatoire , représentant la moyenne d’échantillon de taille n tiré sans remise d’une population finie de taille N, possède les caractéristiques Remarque: On appelle aussi erreur type l’écart type de la variable aléatoire X et on le note . 1 ) ( ) ( 2 2 __ __ __ __               N n N n X V et µ µ X E X X    __ X _ X R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 14 Exemple 3: A partir de la population {4,5,6,8} dans laquelle on a effectué le tirage de tous les échantillons de taille 2 pris avec remise, on a la distribution de probabilité suivante pour la variable aléatoire X On sait que et on trouve Classeur1.xlsx Ce qu’il fallait vérifier. x 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 8 f(x) 1/16 2/16 3/16 2/16 3/16 2/16 2/16 1/16   ) ( ) ( ___ _____ 2 2 __ X E X E X V         09375 , 1 2 1875 , 2 09375 , 1 ) ( 2 __    n et X V  R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 15 Exemple 4: A partir de la population {4,5,6,8} procédons au tirage de tous les échantillons de taille 2 pris sans remise, on a la distribution de probabilité suivante pour la variable aléatoire X On trouve Classeur1.xlsx Ce qu’il fallait vérifier. X 4,5 5 5,5 6 6,5 7 f(x) 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 2/12 72916667 , 0 3 2 09375 , 1 1 2 72916667 , 0 ) (               N n N n et X V  R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 16 VI/. Distribution de probabilité de la variable aléatoire Théorème central limite: 1) Quand la population est distribuée normalement, la distribution de sera normale quelque soit n. 2) Quand la population n’est pas distribuée normalement et que n ≥ 30 alors la distribution de sera normale. N ( ; ) _ X n _ X n _ X n µ X _ 2 _ X R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 17 Exemple : Le poids de 60 étudiants est distribué normalement avec µ = 64 kg et . Alors la variable aléatoire d’un échantillon de taille 20 tiré: a) Avec remise est caractérisée par: = 64 kg et ; N ( 64 ; 1 ) b) Sans remise est caractérisée par: = 64 kg et ; N ( 64 ; 0,68 ) kg2 2 20   µ X _ µ X _ 2 _ X 2 _ X 1 20 20   68 , 0 1 60 20 60 20 20             _ 20 X _ 20 X R.DAANOUN 10/2/21 03:56 PM 18 Exercice : 1°) A partir de l’exemple précédant; trouvez la probabilité qu’un uploads/Geographie/ statistique-inferentielle 1 .pdf