Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Exercices sur la morphologie math´ ematique Isabelle Bloch 1 Propri´ et´ es d’o

Exercices sur la morphologie math´ ematique Isabelle Bloch 1 Propri´ et´ es d’op´ erations morphologiques 1.1 Exercice 1 Les aﬃrmations suivantes sont elles vraies ou fausses ? vraie fausse 1 l’´ erosion d’une fonction est croissante par rapport ` a la fonction ` a ´ eroder √ 2 l’´ erosion d’une fonction est croissante par rapport ` a l’´ el´ ement structurant √ 3 l’´ erosion d’une image ` a niveaux de gris bouche des ≪vall´ ees ≫ √ 4 un ﬁltre altern´ e s´ equentiel est croissant √ 5 un ﬁltre altern´ e s´ equentiel est idempotent √ 6 un ﬁltre altern´ e s´ equentiel est extensif √ 7 un ensemble convexe est invariant par fermeture par un ´ el´ ement structurant compact convexe √ 8 un ensemble convexe est invariant par ouverture par un ´ el´ ement structurant compact convexe √ 9 une ´ erosion de taille 3 suivie d’une ´ erosion de taille 2 est ´ equivalente ` a une ´ erosion de taille 5 √ 10 une ouverture de taille 3 suivie d’une ouverture de taille 2 est ´ equivalente ` a une ouverture de taille 5 √ 1.2 Exercice 2 Soient γ1 et γ2 des ouvertures alg´ ebriques (croissantes, idempotentes et anti-extensives). Montrer l’´ equivalence entre : 1. γ1 ≤γ2 2. γ1γ2 = γ2γ1 = γ1 3. Inv(γ1) ⊆Inv(γ2) o` u Inv d´ esigne le domaine d’invariance. Supposons que γ1 ≤γ2. Alors γ1γ1 ≤γ2γ1. L’anti-extensivit´ e de γ2 implique γ2γ1 ≤γ1, et l’idempotence de γ1 implique γ1γ1 = γ1, donc γ2γ1 = γ1. L’anti-extensivit´ e de γ2 implique γ2 ≤Id, o` u Id d´ esigne l’identit´ e. La croissance de γ1 implique alors γ1γ2 ≤γ1. De plus, l’hypoth` ese 1 et la croissance de γ1 impliquent γ1γ1(= γ1) ≤γ1γ2 et donc γ1γ2 = γ1. On a donc 1 ⇒2. 1 Supposons que γ1γ2 = γ2γ1 = γ1. Pour tout x ∈Inv(γ1), on a γ1(x) = x. Donc γ2(x) = γ2(γ1(x)) = γ1(x) = x, et x ∈Inv(γ2)). On a donc 2 ⇒3. Supposons que Inv(γ1) ⊆Inv(γ2). Notons que l’on a pour toute ouverture γ et pour tout x : γ(x) = W{y ∈Inv(γ), y ≤x}. L’hypoth` ese implique que W{y ∈Inv(γ1), y ≤ x} ≤W{y ∈Inv(γ2), y ≤x} (puisqu’on calcule un sup sur un ensemble plus petit), et donc γ1 ≤γ2. On a donc 3 ⇒1. Comme 1 ⇒2 ⇒3 ⇒1, on a l’´ equivalence entre les trois proprit´ et´ es. 2 Morphologie math´ ematique binaire 2.1 Ouverture morphologique 2.2 S´ election d’objets Une image binaire I contient des disques de diam` etre 5, des disques de diam` etre 10, des segments de longueur 5, des segments de longueur 10 et des segments de longueur 15, les segments pouvant avoir des orientations diﬀ´ erentes. Exemple d’op´ erations qui permettent : – de supprimer uniquement les disques de diam` etre 5 : suppression des segments par une ouverture par un disque de diam` etre inf´ erieur ` a 5 →R1, suppression des petits disques par une ouverture de R1 par un disque de diam` etre compris entre 6 et 10 →R2. Les disques de diam` etre 5 sont R3 = R1 \ R2. Le r´ esultat demand´ e est donc obtenu en prenant I \ R3. – de supprimer tous les disques (et seulement les disques) : I \ R1. – de s´ electionner les segments de longueur 15 : par r´ eunion d’ouvertures par des segments de longueur comprise entre 11 et 15 et de diﬀ´ erentes orientations (les disques et les segments courts sont supprim´ es par toutes les ouvertures alors que les segments de longueur 15 sont pr´ eserv´ es par au moins une ouverture). NB : une r´ eunion d’ouvertures est une ouverture alg´ ebrique (mais qui ne s’exprime pas forc´ ement comme une ´ erosion suivie d’une dilatation avec un ´ el´ ement structurant). 2 uploads/Geographie/ td-corrige 1 .pdf