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PCSI 2019–2020, Lyc´ ee Lalande, Bourg–en–Bresse Alexandre Alles TD 05 (Chap. 0

PCSI 2019–2020, Lyc´ ee Lalande, Bourg–en–Bresse Alexandre Alles TD 05 (Chap. 04) – Propagation de la lumi` ere I Questions de cours 1. Sources lumineuses, spectres et m´ ecanisme d’´ emission. 2. Milieu transparent, lin´ eaire, homog` ene et isotrope. Indice de r´ efraction. 3. Cadre de l’optique g´ eom´ etrique : approximation de l’optique g´ eo´ emtrique, ind´ ependance des rayons lumineux. 4. Lois de Snell–Descartes et leurs cons´ equences. II Applications directes du cours App1 Mise en jambes 1. Refaire le sch´ ema ci-contre en ne laissant que les rayons lumineux existant r´ eellement. 2. Donner toutes les relations angulaires possibles en pr´ ecisant pour chacune si elle est d’origine g´ eom´ etrique ou optique. App2 Taille d’un miroir Quelle taille minimum doit avoir un miroir plan pour qu’un homme de 1, 80m puisse s’y voir enti` erement et o` u le miroir doit-il se trouver ? App3 Dispersion de la lumi` ere blanche Un verre a l’indice n = 1, 595 pour la lumi` ere rouge et n = 1, 625 pour la lumi` ere violette. Un rayon de lumi` ere blanche, qui contient ces deux couleurs, se propage dans ce verre et arrive ` a la surface de s´ eparation avec l’air sous une incidence de 35◦. 1. Calculer l’angle que font dans l’air les rayons rouge et violet. 2. A partir de quelle incidence le ph´ enom` ene de r´ eﬂexion totale se produit-il pour ces deux longueurs d’onde ? App4 Incidence de Brewster On consid` ere l’interface entre un milieu d’indice 1 et un milieu d’indice n et un rayon lumineux se propageant dans le milieu d’indice 1. Pour quel angle d’incidence iB le rayon r´ eﬂ´ echi est-il perpendiculaire au rayon r´ efract´ e ? App5 Prisme ` a r´ eﬂexion total On consid` ere un prisme d’angle au sommet ˆ A = 90◦. On cherche ` a d´ evier un faisceau de 90◦avec (c’est un dispositif qu’on trouve dans les jumelles par exemple). On injecte pour cela le faisceau perpendiculairement ` a une face, celui-ci se r´ eﬂ´ echit sur la base du prisme, puis ressort perpendiculairement ` a la seconde. 1. Calculez l’indice du verre permettant une r´ eﬂexion totale sur la base du prisme. 2. On consid` ere un rayon faisant un angle i avec la normale ` a la surface d’entr´ ee. Le rayon ´ emergent est-il encore perpendiculaire au rayon incident ? A App6 Flotteur Un disque en li` ege de rayon r ﬂotte sur l’eau d’indice n ; il soutient une tige plac´ ee perpendiculairement en son centre. Quelle est la longueur h de la partie de la tige non visible pour un observateur dans l’air ? Citer les ph´ enom` enes mis en jeu. App7 Champ d’un miroir Un individu, dont les yeux sont ` a la hauteur H = 1.80 m, cherche ` a observer un petit arbre de hauteur h = 1.50 m, situ´ e ` a une distance D = 5 m, par r´ eﬂexion dans un miroir plan pos´ e sur le sol. Quelles doivent ˆ etre les dimensions de ce miroir, et o` u doit-il ˆ etre plac´ e ? 20 PCSI 2019–2020, Lyc´ ee Lalande, Bourg–en–Bresse Alexandre Alles App8 R´ efraction par une bulle Un faisceau lumineux parall` ele se propageant dans l’eau d’indice n = 1.33 arrive sur une bulle d’air sph´ erique de rayon R. 1. Que peut–on dire de la marche du rayon dirig´ e vers le centre de la bulle ? 2. Mˆ eme question pour le rayon rasant sur le pourtour de la bulle. 3. Tous les rayons se r´ efractent–ils ` a travers l’interface eau/air ? App9 Cˆ one de r´ efraction et r´ eﬂexion totale On consid` ere un dioptre plan entre des milieux d’indice 1 et n. Un rayon se propageant dans le milieu d’indice 1 tombe en I sur le dioptre. On suppose que le rayon incident peut tourner autour du point I, avec tous les angles incidents possibles dans le demi–espace incident. 1. D´ eterminer l’ensemble (C) des rayons r´ efract´ es correspondants ` a tous les rayons incidents possibles. 2. D´ emontrer qu’un rayon se propageant vers I dans le milieu d’indice n, en dehors de (C), ne peut que se r´ eﬂ´ echir sur le dioptre. III Exercices Ex1 Cristal de glace hexagonal Un cristal d’indice n = p 3 a la forme d’un prisme ` a base hexagonale r´ eguli` ere (cf ﬁgure). On l’´ eclaire par un faisceau de lumi` ere parall` ele dirig´ e perpendiculairement ` a l’une des faces (num´ erot´ ee 1). On veut veut recenser les directions de di↵´ erents rayons qui tra- versent le cristal, en subissant deux r´ efractions (on ne s’int´ eresse pas aux rayons r´ eﬂ´ echis). 1. On consid` ere la face 1, qui intercepte le faisceau sous incidence normale. Pr´ eciser la marche des rayons qui la traversent. 2. On consid` ere maintenant la face adjacente (n◦2) et le rayon qui arrive en son milieu. Pr´ eciser son angle d’incidence et d´ ecrire la r´ efraction, le cas ´ ech´ eant. 3. S’il existe, qu’advient-il du rayon r´ efract´ e ? 4. Que peut-on dire du faisceau ayant travers´ e le cristal ? Ex2 Fibre optique Une ﬁbre ` a saut d’indice est form´ ee d’un cœur cylindrique d’axe OX et de diam` etre a, homog` ene et isotrope d’indice de r´ efraction nc ; entour´ e d’une gaine homog` ene et isotrope d’indice de r´ efraction ng, l´ eg` erement inf´ erieur ` a nc. La ﬁbre est limit´ ee ` a ses extr´ emit´ es par deux plans perpendiculaires ` a OX. L’indice de l’air est not´ e na inf´ erieur ` a nc et ng. On ´ etudie la propagation d’un rayonnement monochromatique dans le plan XOY . 1. Quelle condition doit v´ eriﬁer l’angle d’incidence i ` a la surface de s´ eparation cœur-gaine pour qu’un rayon lumineux situ´ e dans le plan XOY se propage en restant conﬁn´ e dans le cœur ? On note ilim l’angle d’incidence limite et ✓lim = ⇡ 2 −ilim. 2. Montrer que la condition pr´ ec´ edente est v´ eriﬁ´ ee si l’angle d’incidence sur la face d’entr´ ee de la ﬁbre est inf´ erieur ` a une valeur limite ↵lim. 3. On appelle ouverture num´ erique ON = na sin ↵lim. Montrer que ON = q n2 c −n2 g. O R ↵ ✓ a air na gaine ng coeur nc Ex3 Mesure d’un indice par r´ efractrom´ etrie On veut mesurer l’indice de r´ efraction n d’un liquide. On d´ epose une goutte de ce liquide sur un cube de verre transparent d’indice N = 1, 50. On ´ eclaire ce cube par un faisceau lumineux d’incidence i variable sur la face d’entr´ ee AD. On mesure la valeur de l’angle limite d’incidence il pour lequel la goutte apparaˆ ıt lumineuse. 1. Justiﬁer pourquoi pour i ≥il, la goutte est lumineuse. 2. D´ eterminer alors l’indice de r´ efraction n en fonction de N et il. 3. Montrer que ce r´ efractom` etre mesure des indices n compris entre entre deux valeurs ` a d´ eterminer. B A D C (N) i β Ex4 Di` edre On r´ ealise un montage comportant deux miroirs plans formant un di` edre d’angle 90◦. On fait alors tomber un rayon incident avec un angle i sur l’un des miroirs. 1. Faites un sch´ ema du syst` eme. 2. Calculez l’angle de d´ eviation entre le rayon incident et le rayon ´ emergent. 21 PCSI 2019–2020, Lyc´ ee Lalande, Bourg–en–Bresse Alexandre Alles Ex5 Coin de cube On consid` ere un miroir en forme de coin de cube : la zone o` u peut aller la lumi` ere est le premier octant d´ eﬁni par l’ensemble des points (x, y, z) tels que x > 0, y > 0 et z > 0. Les trois plans d’´ equations x = 0, y = 0 et z = 0 sont les plans des trois miroirs M1, M2, M3. 1. Si un rayon lumineux passe ` a l’incidence par le point de coordonn´ ees (x > 0, y > 0, z > 0), montrer que le rayon r´ eﬂ´ echi sur le plan x = 0 passe par le point (−x, y, z). 2. D´ emontrer alors qu’un rayon lumineux incident qui se r´ eﬂ´ echit successivement sur M1, M2 et M3 repart apr` es ces trois r´ eﬂexions en sens inverse mais dans la mˆ eme direction que l’incident de d´ epart. 3. Que se passe-t-il si l’ordre des r´ eﬂexions change ? 4. La premi` ere mission am´ ericaine lunaire Apollo a d´ epos´ e sur le sol lunaire des coins de cube. Pourquoi ? IV Probl` emes Pb1 Zone d’ombre et profondeur du noyau terrestre Lorsqu’un s´ eisme se produit ` a la surface de la Terre, toutes sortes d’ondes sismiques sont ´ emises. Certaines d’entre elles, uploads/Geographie/ td05-lois-de-snell-descartes.pdf