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Séries MTE Page 1/3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique BAC 2012 SÉRIES SÉR

Séries MTE Page 1/3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique BAC 2012 SÉRIES SÉRIES SÉRIES SÉRIES: : : : MTE MTE MTE MTE - - - -TSEco TSEco TSEco TSEco- - - -STG STG STG STG SUJET Exercice 1 ............................................................................................................... (4 pts) 1-/ Développer le polynôme P(X) = (X + 1)(X – 2) 2-/ On désigne par ln(x) le logarithme népérien de x. En utilisant le résultat précédent, résoudre dans IR les équations suivantes : a-/ (ln(x))2 – ln(x) – 2 = 0 ; b-/ e2x – ex = 2 ; Exercice 2 ............................................................................................................... (6 pts) Dans une zone de marais, on s'intéresse à la population de libellules. On note P0 la population initiale et Pn la population au bout de n années. Des études ont permis de modéliser l’évolution de Pn par la relation : Pn+2 – Pn+1 = 2 1 (Pn+1 – Pn) On pose P0 = 40 000 et P1 = 60 000. On définit l’accroissement de la population pendant la n-ième année par Pn – Pn-1. 1./ Calculer l’accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année et la troisième année. En déduire P2 et P3. T TS SV VP P Séries MTE Page 2/3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique 2./ On considère les suites (Un) et (Vn) définies, pour tout entier naturel, par : Un = Pn+1 – Pn et Vn = Pn+1 – 2 1 Pn a./ Prouver que la suite (Un) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. Exprimer Un en fonction de n. b./ Calculer Vn+1 – Vn et en déduire que, pour tout entier naturel n : Vn = P1 – 2 1 P0 c./ Calculer alors Vn. d./ Démontrer que, pour tout n de ℕ, on a Pn = 2(Vn – Un). En déduire une expression de Pn en fonction de n. e./ Montrer que la suite (Pn) converge et calculer sa limite. Que peut-on en déduire en ce qui concerne l’évolution de cette population au bout d'un nombre d’années suffisamment grand ? Problème .............................................................................................................. (10 pts) Soit f la fonction numérique à variable réelle x définie sur]-1 ; +∞[ par f(x) = 2 2 3 ) 1 ( 2 + + x x x 1°/ Démontrer que f(x) peut se mettre sous la forme f(x) = ax + 1 + x b + 2 ) 1 ( + x c où a, b et c sont 3 réels que l’on déterminera. 2°/ Étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition a-/ Démontrer que pour tout x appartenant au domaine de définition, f ’(x) = 3 2 ) 1 ( ) 4 3 ( + + + x x x x b-/ Dresser le tableau de variation de la fonction f. 3°/ Soit (C ) la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; → i ; → j ) (unité graphique 4cm) Séries MTE Page 3/3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique a-/ Démontrer que (C ) admet une asymptote parallèle à l’axe (O ; → j ). b-/) Démontrer que (C ) admet une asymptote (∆) (dont on précisera l’équation) non parallèle aux axes. c-/Démontrer qu’il existe un point A de (C ) où la tangente (T) est parallèle à (∆) d-/ Tracer (∆), (T) et (C) dans le repère (O ; → i ; → j ) (On précisera en particulier les points d’abscisses respectives : – 2 1 , 1 et 2. 4°/ Calculer l’aire S de la partie du plan comprise entre la courbe (C ), l’axe des abscisses et la droite d’équation x = – 2 1 Donner une valeur approchée de cette aire à 1cm2 près. uploads/Geographie/ teba-2012.pdf