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Thèse de doctorat de l'université Pierre et Marie Curie Spécialité : SCIENCES M

Thèse de doctorat de l'université Pierre et Marie Curie Spécialité : SCIENCES MÉCANIQUES présentée par Guillaume LEGENDRE pour obtenir le grade de docteur de l'université paris vi Sujet de la thèse : RAYONNEMENT ACOUSTIQUE DANS UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT : ANALYSE MATHÉMATIQUE ET NUMÉRIQUE DE L'ÉQUATION DE GALBRUN soutenue le 29 septembre 2003 devant le jury composé de : M. Abderrahmane Bendali Rapporteur Mme Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia Directrice de thèse M. Bruno Després Examinateur M. François Dubois Rapporteur M. Vincent Pagneux Examinateur M. Christophe Peyret Examinateur M. Bernard Poirée Examinateur À ma famille. Remerciements Les premiers pas dans la recherche, et plus particulièrement dans la recherche doctorale, se font rarement seul et sans aide ni soutien. Mon cas ne fait pas exception et je tiens ici à remercier tous ceux qui, de près ou de loin, ont contribué à l'aboutissement de ce travail. Mes premiers remerciements sont adressés à Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, qui a accepté de diriger ces travaux. Son enthousiasme, sa bienveillance et sa compétence m'ont conduit bien plus loin que je n'aurais pu l'imaginer. J'ai énormément appris auprès d'elle et je tiens à lui faire part de toute ma gratitude. Je veux exprimer toute ma reconnaissance à Abderrahmane Bendali et François Dubois qui ont accepté de rédiger un rapport sur ce mémoire et remercier vivement Bruno Després, Vincent Pagneux et Bernard Poirée de m'avoir fait l'honneur, en participant au jury de cette thèse, d'être associés à ce travail. Je remercie également l'O ce National d'Études et de Recherches Aérospatiales d'avoir été à l'origine de cette thèse et de l'avoir nancée, et plus particulièrement le Département de Simulation Numérique des écoulements et Aéroacoustique pour m'avoir accueilli et fait béné cier de ses moyens pendant la durée de cette thèse. Je remercie très sincèrement Christophe Peyret pour toute l'aide, les encouragements, les conseils et l'amitié qu'il m'a largement prodigués durant ces trois dernières années. Je tiens aussi à remercier Jean-François Mercier, tout d'abord pour m'avoir supporté dans son bureau, mais aussi pour avoir répondu à bon nombre de mes interrogations en mathématiques, en mécanique des uides ou en acoustique, Éliane Bécache, pour m'avoir fait découvrir plus en détail les fameuses perfectly matched layers et leur vaste bibliographie, ainsi que pour l'agréable collaboration qui a suivi, Patrick Ciarlet, Christophe Hazard, Marc Lenoir et Éric Lunéville qui ont toujours su m'aider et répondre à mes diverses questions, ainsi que Christophe Bailly pour les éclaircissements qu'il a pu m'apporter sur certains des aspects de l'acoustique en écoulement. Je remercie chaleureusement Daniel Martin pour son aide précieuse et e cace lors de mes nombreux déboires avec le code mélina. Je souhaite remercier mesdames Ghislaine Denis, Brigitte Commelin et Annie Marchal pour leur aide inestimable face aux formalités administratives et logistiques, ainsi que leur éternelle bonne humeur. Je remercie également les nombreux membres (qu'ils soient permanents ou de passage) de l'unité de mathématiques appliquées de l'ENSTA, du DSNA à l'ONERA et du projet ONDES de l'INRIA pour (entre autres) leur accueil, leurs discussions et, plus généralement, l'ambiance de travail conviviale 1. Je salue en particulier deux autres membres de l'auto-baptisé groupe des doctorants de l'UMA (qui a aujourd'hui bien grandi...), Fabrice et François, que je remercie pour... Tout ! Je remercie en n, et non le moins, Maria José pour son soutien indéfectible et sa patience à mon égard, que ce soit durant de di ciles périodes de doute ou simplement jour après jour. 1. N'oublions pas non plus les fameux et formidables psaumes organisés à l'UMA ! Table des matières Introduction 5 Conventions et notations 13 1 Équation de Galbrun 19 1.1 Descriptions du mouvement d'un uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.1 Représentation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.2 Représentation d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Équations de la mécanique des uides en variables d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1 Équations de conservation pour un uide parfait en évolution adiabatique . . . . . . . 20 1.2.2 Équation d'état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.3 Système des équations de la mécanique des uides parfaits en évolution adiabatique en variables d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Équations de la mécanique des uides en variables de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.1 Changement de variables Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2 Système des équations de la mécanique des uides parfaits en évolution adiabatique en variables de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Perturbations des équations de conservation en représentation mixte . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Perturbations des équations en variables de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Passage en représentation mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.3 Retour en représentation d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 Équation dite de Galbrun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6 Remarques sur le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.7 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Régularisation en écoulement uniforme 33 2.1 Le problème dans un guide in ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Un cas modèle : le problème sans écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Analogie avec l'électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 La méthode de régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Régularisation en écoulement uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1 Une équation pour le rotationnel du déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.2 Formulation variationnelle du problème régularisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.3 Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Geographie/ z-12.pdf