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MATHÉMATIQUES 3e BCD TOME 6: PROBABILITÉS Jean-Claude BREMER Bernard FELTEN Thi

MATHÉMATIQUES 3e BCD TOME 6: PROBABILITÉS Jean-Claude BREMER Bernard FELTEN Thierry HILD Jean-Paul MERTZ en collaboration avec la Commission nationale de l’Enseignement secondaire classique – Mathématiques MATHÉMATIQUES 3E BCD Élaboré conformément au programme luxembourgeois par un groupe de travail du SCRIPT / MENJE, composé de : Jean-Claude BREMER, Bernard FELTEN, Thierry HILD, Jean-Paul MERTZ © Le présent ouvrage et son contenu sont la propriété intellectuelle du Ministère de l’Éducation nationale, de l’Enfance et de la Jeunesse du Grand-Duché de Luxembourg. L’ouvrage est publié en tant que Ressource Éducative Libre (REL) et peut dès lors être gratuitement utilisé, adapté et distribué, dans un but non lucratif et sous condition que la source soit indiquée. Cette simple licence ne constitue en aucun cas une renonciation quelconque du Ministère à ses droits d’auteur sur l’ouvrage. Rédaction : Jean-Claude BREMER, Bernard FELTEN, Thierry HILD, Jean-Paul MERTZ, Ben GILLEN Mise en page : Thierry HILD, Jean-Paul MERTZ Illustrations : Thierry HILD, Ben GILLEN Couverture : Hannah STELMES (élève de 1CE au LGE en 2019-20) Images : shutterstock.com (Illizium, Crazy nook, Martin Red, Francesco Abrignani, dipego, Kolonko) Éditeur : SCRIPT, Service de Coordination de la Recherche et de l’Innovation pédagogiques et technologiques Imprimé au Grand-Duché de Luxembourg Imprimerie ISBN : 978-99959-1-192-8 N° interne : ESC / Chers élèves, Chers enseignants Vous tenez en mains un tome du manuel de mathématiques pour les classes de 3e B, C et D de l’enseignement secondaire classique luxembourgeois. Le manuel est subdivisé en six tomes, chacun ayant la même structure interne : les activités, puis le cours et enfin les exercices. Dans la partie cours, ce symbole indique qu’une activité en guise d’introduction est disponible pour la notion respective. Les activités sont choisies de manière à permettre à l’élève de découvrir en autonomie ou en petits groupes de nouvelles notions ou propriétés. Les exercices ont été choisis de manière à ce que l’élève ait l’occasion de bien s’entraîner sur une nouvelle notion tout en se basant sur les exemples-types de la partie cours. Leur grand nombre laisse à l’enseignant la possibilité de garder des exercices pour des devoirs à domicile. De nombreux exercices permettent d’appliquer les notions abstraites à des situations de la vie courante et de mettre ainsi l’élève dans une situation de « problem- solving ». Chaque exercice est muni d’un code-couleur (par ordre croissant de difficulté : vert, bleu, rouge) ainsi que d’une, deux ou trois araignées indiquant son niveau de difficulté. Les exercices précédés de ce symbole peuvent être résolus entièrement à l’aide de la calculatrice, qui pourra servir notamment pour résoudre une équation, une inéquation ou un système d’équations. Pour ces exercices, la détermination d’une stratégie de résolution est plus importante que les techniques de résolution. Les codes QR qu’on peut trouver pour certaines activités du cours mènent vers les applications GeoGebra respectives qui permettent de lancer des simulations. Sur le site edumathe.script.lu le lecteur peut trouver les applications GeoGebra, les réponses et les solutions aux exercices, des documents en complément aux différents chapitres du programme ainsi que les versions pdf des manuels incluant les liens menant directement vers ces documents. Remerciements Les auteurs de ce manuel remercient en première ligne leurs familles pour leur patience durant les longs mois consacrés à la rédaction, à la mise en page et aux relectures. Leurs remerciements vont également à la cinquantaine de professeurs de mathématiques de tous les lycées du pays pour leurs contributions constructives après avoir testé avec leurs élèves les différents chapitres du nouveau cours. Merci aussi aux collaborateurs du SCRIPT pour leur disponibilité. Un très grand merci à Sabine pour son efficacité dans la relecture. Sans l’aide de toutes ces personnes, ce manuel n’existerait pas. Mise en garde Toute ressemblance avec un personnage existant ou ayant existé ou avec une circonstance existante ou ayant existé serait le fruit d’un pur hasard et sans aucune volonté des auteurs. « L’essence des mathématiques, c’est la liberté » Georg Cantor né le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg et décédé le 6 janvier 1918 à Halle, connu pour être le créateur de la théorie des ensembles Probabilités – Table des matières 7 Probabilités Activités 8 1 Roue de la fortune 9 2 Lancer d’un dé en forme de pavé droit 11 3 Deux simulateurs de lancers d’un dé 12 4 Tirage d’une carte 13 5 Hunger Games 15 6 Choix d’un chapeau et d’une cravate 17 7 Votre cerveau vous trompe 19 Cours 20 1 Vocabulaire 21 1.1 Expérience aléatoire, univers, événement 21 2 Calcul de probabilités 26 2.1 Approche expérimentale – Loi des grands nombres 26 2.2 Approche théorique – Formule de Laplace 28 3 Expériences aléatoires à plusieurs étapes 32 3.1 Représentation 32 3.2 Règles des chemins 34 Exercices 38 8 Probabilités – Activités Activités Probabilités – Activités 9 1 Roue de la fortune Une roue équilibrée de loterie est partagée en 7 secteurs de même taille sur lesquels sont inscrits les lettres du mot « LOTERIE ». On la fait tourner, elle s’immobilise et on observe la lettre obtenue. Comme le résultat dépend du hasard, le tournage de la roue est un exemple d’une expérience aléatoire. a. Quels sont les résultats possibles de cette expérience aléatoire ? _________________________________________________________________________________________________ Chacun de ces résultats est appelé issue de l’expérience aléatoire. b. L’univers, noté Ω, est l’ensemble de toutes les issues possibles de cette expérience. Compléter : { } Ω= ______________________________________________ et Ω= ______ # , où #Ω est le nombre d’éléments de Ω (ce nombre s’appelle le cardinal de Ω). c. Dans une expérience aléatoire, tout sous-ensemble (partie) de l’univers Ω est appelé événement de Ω. 1. On considère l’événement A décrit par « obtenir une consonne ». Compléter : A : « obtenir une consonne » { } = __________________________________ Compléter de même pour l’événement B : B : « obtenir une lettre avec un centre de symétrie » { } = _________________________________ 2. L’événement qui ne comprend aucun élément de Ω est appelé événement impossible. Donner deux descriptions différentes de l’événement impossible. « _________________________________________________________________________ » { } = = ∅ ; « _________________________________________________________________________ » { } = = ∅ 10 Probabilités – Activités 3. Tout événement qui comprend un seul élément de Ω est appelé événement élémentaire. Donner un exemple d’un événement élémentaire. « _________________________________________________________________________ » { } = ________________________________ 4. L’événement qui comprend tous les éléments de Ω est appelé événement certain. Donner deux descriptions différentes de l’événement certain. « _________________________________________________________________________ » = Ω ; « _________________________________________________________________________ » = Ω 5. Deux événements qui n’ont en commun aucun élément de Ω sont appelés événements incompatibles. Donner deux exemples d’événements incompatibles. « ________________________________________________________________________________________________________ » et « ________________________________________________________________________________________________________ » ; « ________________________________________________________________________________________________________ » et « ________________________________________________________________________________________________________ » ; 6. Soit E un événement quelconque de Ω. L’ensemble des éléments de Ω qui n’appartiennent pas à E est appelé événement contraire de E et est noté E . Compléter : L’événement contraire de A : « obtenir une consonne » est décrit par A : « obtenir une ____________________________________________________________________ » De même, l’événement contraire de B : « obtenir une lettre avec un centre de symétrie » est décrit par B : « ________________________________________________________________________________________________________ » Probabilités – Activités 11 2 Lancer d’un dé en forme de pavé droit Travail en binôme (par groupes de deux) Lancer 60 fois un dé non cubique, en forme de pavé droit 1, et noter les résultats. Compléter ensuite le tableau suivant : nombre obtenu 1 2 3 4 5 6 effectif effectif total: 60 Travail pour toute la classe a. Compléter le tableau suivant, qui indique les résultats de tous les groupes : nombre obtenu effectif fréquence 1 f1 ≈ 2 f2 ≈ 3 f3 ≈ 4 f4 ≈ 5 f5 ≈ 6 f6 ≈ TOTAL : b. Imaginer ce qui va se passer avec les fréquences lorsqu’on joue de plus en plus souvent. _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 1 De tels dés sont p.ex. disponibles dans des coffrets mathématiques du type « Mathekoffer ». 12 Probabilités – Activités 3 Deux simulateurs de lancers d’un dé a. Ouvrir le fichier GeoGebra associé au code QR en marge. On simule dans ce fichier n lancers d'un dé. Pour ce faire, cliquer sur le bouton « Nouvelle simulation ». On peut changer le nombre de lancers n à l’aide du curseur correspondant. 1. À l’aide du fichier GeoGebra, compléter le tableau suivant : n (nombre d'essais) effectif du « 6 » (nombre de « 6 » obtenus) fréquence du « 6 » (en pourcents, arrondie au dixième) 100 f100 ≈ 1 000 f1000 ≈ 2 000 f2000 ≈ 3 000 f3000 ≈ 4 000 f4000 ≈ 5 000 f5000 ≈ 6 000 f6000 ≈ 7 000 f7000 ≈ 8 000 f8000 ≈ 9 000 f9000 ≈ 10 000 f10000 ≈ 2. Que se passe-t-il avec les fréquences fn lorsque n devient de plus en plus grand ? ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ b. Ouvrir le fichier GeoGebra associé au code QR en marge. On simule dans ce fichier n lancers d'un dé, et on s’intéresse à uploads/Geographie/ tome6-probabilites-e-20200830.pdf