ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATISTIQ

ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE DEPARTEMENT DE STATISTIQUE YAOUNDE - CAMEROUN BP 5084 DAKAR - SENEGAL ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 1998 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX STATISTIQUES VOIE A PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 4 HEURES EXERCICE N° 1 On note (E) l'équation x3 - 3x -1 = 0. ‚ Montrer que (E) admet 3 solutions réelles x1, x2 et x3. ƒ Montrer que: 0 2 3 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 = + + x x x x x x x x x et que: 3 2 1 2 2 2 1 = + + x x x x „ On pose x = 2cosα . Déterminer les valeurs exactes de x1 , x2 et x3 sous forme trigonométrique www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info EXERCICE N° 2 Soit I e xdx n n x n n = ∈ − +  π π ( ) sin , 1 N ‚ Montrer que la suite ( ) In est une suite géométrique, en cherchant une relation de récurrence entre In+1 et In Calculer la raison q de cette suite et le premier terme I0. ƒ La suite ( ) In est-elle convergente ? „ Calculer  en fonction de n Soit S e xdx n x n = − + 0 1 ( ) sin π Etudier la convergence de la suite( ) Sn † Calculer In+1 en intégrant par parties et retrouver le fait que ( ) In est une suite géométrique. ‡ Calculer I I In 0 1 × × × .... en fonction de n. PROBLEME Soit f(x) = sinx + cosx , x ∈[ -3π/4 , π /4 ] ‚ Montrer que f est une bijection de l'intervalle I = [ -3π/4 , π /4 ] sur un intervalle J à déterminer ƒ Etudier la continuité et la dérivabilité de la bijection réciproque f −1 , de f , sur J „ Calculer f −− 1 2 ( ) , f −1 2 ( ) , f −1 1 ( ) , et ( ) ( ) ' f −1 1 où ( )' f −1 est la fonction dérivée de f −1 Calculer ( ) ( ) ' f x −1 sur l'intervalle de dérivabilité de f −1 www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info † Déduire de ce qui précède , la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes: 1 2 2 1 2 −  x dx et 1 2 2 2 1 − −  x dx ‡ Montrer que [ ] ∀∈− x 2 2 , cos( ( )) f x x x − = + − 1 2 2 2 et sin( ( )) f x x x − = − − 1 2 2 2 ˆ Montrer par le calcul que l'équation f x f x ( ) ( ) = −1 n'admet pas de solution dans l'intervalle −       2 4 , π ‰ x Montrer que l'équation f(x) = 2x admet une solution unique α dans ]0, π/4[ et que 0,7 < α < 0,8 y Soit h x x x x x R ( ) cos sin , = + − ∈ 1 3 1 3 2 3 Montrer que h(α) = 0 et que : ∀x ∈] 0,7 ; 0,8 [ , h'(x) ≤0,69. En déduire un encadrement de f(x) par deux fonctions affines dépendant de α , lorsque x ∈]0,7 ; 0,8[ z Calculer sinαcosα , sin2α , cos3α + sin3α , cos4α + sin4α , 1/cosα + 1/sin α , cosα - sinα, cosα, sinα et cos2α en fonction de α www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info Š Soit la fonction F définie par : F x t dt x ( ) = −  1 2 2 1 si ] [ x ∈− 2 2 , et par F( ) − = − 2 3 4 π et F( ) 2 4 = π sur [ ] − 2 2 , x Montrer que F est définie et continue sur [ ] − 2 2 , et dérivable sur ] [ − 2 2 , y Calculer F x '( ) si [ ] x ∈− 2 2 , z Montrer que F f = −1 ‹ x Etudier la position de la courbe C représentative de f dans un repère orthonormé ( , , ) 0   i j du plan, par rapport à sa tangente (T) en un point d’abscisse x0 4 = −π y Si   i j cm = = 2 , calculer en cm2 l’aire du domaine ∆= ≤ ≤ ≤ ≤       M x y x et y f x ( , ) / ( ) 0 4 0 π z Calculer en cm² l'aire du domaine D limité par l'axe des ordonnées , la courbe représentative de f −1 , les droites d'équations y = 0 et y = π/4 ‚‚ Soit I x f x dx n N n n = ∀∈ 0 6 π / * ( ) , et I f x dx 0 0 6 =  ( ) / π x Montrer que la suite ( ) In est convergente y Montrer que lim n n I →∞ = 0 www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE DEPARTEMENT DE STATISTIQUE YAOUNDE - CAMEROUN BP 5084 DAKAR -SENEGAL ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 1998 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX STATISTIQUES VOIES A et B ORDRE GENERAL DUREE : 3 HEURES Les candidats traiteront l’un des 3 sujets au choix SUJET N° 1 Comparez l’enquête policière et l’expérience scientifique. SUJET N° 2 Que signifie et quelle valeur faut-il donner à l’expression : «L’histoire jugera» ? SUJET N° 3 Le philosophe ALAIN affirme que «la plus haute valeur humaine, c’est l’esprit libre». (Les vigiles de l’Esprit). Vous commenterez cette affirmation et ferez apparaître les difficultés qui peuvent surgir dans cette conquête. www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE DEPARTEMENT DE STATISTIQUE YAOUNDE - CAMEROUN BP 5084 DAKAR - SENEGAL ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 1998 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX STATISTIQUES VOIE A DEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 3 HEURES EXERCICE N° 1 Soit ( , ( ), ) Ω Ω P P un espace probabilisé ‚ Montrer que si A et B sont deux événements indépendants, c’est-à-dire tels que P (A∩B) = P (A) × P (B), il en est de même de : A et B , A et B , ainsi que de A et B ƒ Trois événements A, B et C sont dits indépendants entre eux si : A et B sont indépendants, A et C sont indépendants , B et C sont indépendants et si P( A ∩B∩C) = P(A) × P(B) × P(C). Montrer que si A , B et C sont indépendants entre eux, alors : xA , B et C sont indépendants entre eux yA , B et C sont indépendants z A , B et C sont indépendants www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info „ En prenant Ω= {a, b, c, d} et P la probabilité uniforme, montrer par un exemple que si A et B sont indépendants, A et C indépendants et B et C indépendants, A, B et C ne sont pas obligatoirement indépendants dans leur ensemble. A , B, et C sont trois événements indépendants dans leur ensemble tels que : P(A) = a , P(A ∩B ∩C ) = b , P(A ∪B ∪C ) = c , P(A ∩B ∩C) = p , P(B) =x et P(C) = y x Expliciter b, c, et p en fonction de a , x et y y En déduire une relation entre a, b, c et p indépendante de x et y z Calculer x et y en fonction de a, b, c et p EXERCICE N° 2 ‚ Calculer le coefficient du monôme en x y z 6 5 4 dans le développement de ( ) 2 5 15 x y z − + ƒ En utilisant le développement de (a + b + c)n, montrer que le nombre N des permutations différentiables de n lettres dont : α lettres sont des a, β lettres sont des b et γ lettres sont des c, est N n = ! ! ! ! α β γ avec = + + = α β γ n PROBLEME ‚ x α est un nombre réel . Résoudre l'équation z² - 2zcosα + 1 =0 (E1) , d ' inconnue z dans C y Donner la forme trigonométrique des solutions de l'équation (En): z2n - 2zn cosα + 1 = 0 n ∈N* www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info www.touslesconcours.info ƒ Soit Pα (z) = z2n - 2zn cos α + 1 x Montrer que P z z z uploads/Geographie/itsa1998-pdf.pdf

Tags
Administrationwww.touslesconcours.info montrer calculer cette appliquee
Documents similaires
  • 28
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager