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Université Ibn Tofail SMC semestre 4 Printemps 2015 Faculté des Sciences, Kénit

Université Ibn Tofail SMC semestre 4 Printemps 2015 Faculté des Sciences, Kénitra 1 Pr. Elkettani NOTES DE COURS (48 pages) Plan I) Probabilités, événements et Probabilités conditionnelles II) Variables aléatoires III) Lois de probabilité les plus courantes : discrètes et continues IV) Estimation ponctuelle et par intervalle d’une moyenne d’un écart-type et d’une proportion V) Cartes de contrôle de grandeurs mesurables et Cartes de contrôle par attributs VI) Tests d’hypothèses VII) Compléments du cours VIII) Séries de TD IX) Tables statistiques Références bibliographiques : - cours en ligne :statnet , http://www.agro-montpellier.fr/cnam-lr/statnet/ - BAILLARGEON, Introduction aux méthodes statistiques en contrôle de la qualité (1995), Les édition SMG. Université Ibn Tofail SMC semestre 4 Printemps 2015 Faculté des Sciences, Kénitra 2 Pr. Elkettani I) Probabilités Exemple : Les produits de qualité : On prélève 96 pièces des produits P, Q, R et S fabriqués par un atelier. On affecte à chaque pièce un numéro d’ordre entre 1 et 96 puis on examine la qualité de sa forme circulaire si elle est bonne ou mauvaise. On a obtenu les résultats suivants : P Q R S Total Bonne 30 20 16 14 80 mauvaise 6 5 2 3 16 Total 36 25 18 17 Effectuons l’expérience suivante qui consiste à tirer au hasard un individu : - Quelle est la probabilité que ce soit une pièce défectueuse? Quelle est la probabilité que ce soit une pièce bonne et de type R ? Un résultat ou issue de cette expérience aléatoire est l'un des 96 numéros. L'ensemble  des issues s'appelle l'univers des possibles. A) Evénement lié à une expérience aléatoire La phrase ou assertion "l’individu choisi a le numéro 35" peut être vraie ou fausse. On dira que cette assertion est un événement lié à l'expérience aléatoire "choisir au hasard un individu". On dira que cet événement est réalisé si, après une épreuve de l'expérience aléatoire l’assertion devient vraie. A chaque événement est associée une partie de  constituée des issues pour lesquelles l'événement est réalisé. Pour l'événement "l’individu choisi est une pièce de type S" est associée la partie de  formée de tous les numéros des pièces de type S du tableau. Si  est fini, à toute partie A de , ( A P ) est associé un événement, par exemple l'événement "l'issue de l'expérience est un élément de A". Si  est fini, P représente l'ensemble des événements associés à l'expérience. On appelle événement élémentaire un événement qui n'est réalisé que par une seule issue de l'expérience. L'événement "le numéro choisi est le 35" est un événement élémentaire. Un événement est dit impossible s'il n'est réalisé par aucune issue de l'expérience aléatoire. Université Ibn Tofail SMC semestre 4 Printemps 2015 Faculté des Sciences, Kénitra 3 Pr. Elkettani "L’individu choisi a le numéro 100" est ici un événement impossible (car les individus ont les numéros de 1 à 96). A un événement impossible on associe la partie vide, de . Un événement est dit certain s'il est réalisé par toutes les issues de l'expérience aléatoire. "L’individu tiré au hasard est soit un homme, soit une femme" est ici un événement certain. A un événement certain on associe la partie. Composition des événements On peut composer les événements à l'aide des connecteurs logiques : et, ou, non. Soit A l'événement : "l’individu choisi est une pièce mauvaise ". Soit B l'événement : " l’individu choisi est une pièce de type P". La conjonction A et B de ces deux événements est l'événement : A et B : " l’individu choisi est une pièce mauvaise et de type P ". A l'événement A et B est associée l'intersection des parties associées à A et B. La disjonction A ou B des deux événements est l'événement : " l’individu choisi est une personne célibataire ou bien c’est un homme " A l'événement A ou B est associée la réunion des parties associées à A ou B. La négation de l'événement A est l'événement : "l’individu choisi n’est pas mauvaise ". A l'événement "non A" (ou ) est associé le complémentaire dans  de la partie associée à l'événement A. Deux événements A et B sont dits incompatibles s'il n'existe pas d'issues à l'expérience réalisant simultanément A et B. Les événements A : "l’individu choisi est une pièce mauvaise " et B : " l’individu choisi est une pièce bonne " sont incompatibles. Si A et B sont incompatibles, les parties de  qui leur sont associées ont une intersection vide. Université Ibn Tofail SMC semestre 4 Printemps 2015 Faculté des Sciences, Kénitra 4 Pr. Elkettani ( P  ), c'est-à-dire P , l'ensemble des parties de , muni des opérations d'union (  ), d'intersection (  ) et de complémentation ( ) s'appelle l'algèbre des événements liée à l'expérience aléatoire. B) Définition d'une probabilité Soit E une expérience aléatoire ayant un nombre fini d'issues. Et soit  l'ensemble des issues de cette expérience. A tout événement A lié à E, c'est-à-dire à tout élément A de P , on associe un nombre P(A), compris entre 0 et 1, appelé probabilité de A. Une probabilité P définie sur P est une application P : P   [ 0 , 1 ] possédant les propriétés suivantes : 1) P (  ) = 1 2) Si A et B sont deux événements incompatibles : P ( A  B ) = P ( A ) + P ( B ) Il en découle les premières conséquences suivantes : Propriétés : 1) P (  ) = 0 . La probabilité de l'événement impossible est nulle. 2) Si est l'événement contraire de A, alors P ( ) = 1 - P ( A ) 3) Si A  B alors P ( A )  P ( B ) 4) Si A et B sont deux événements quelconques P ( A  B )= P ( A ) + P ( B ) - P ( A  B ) 5) Si A1 , A2 , .... , An sont des événements deux à deux incompatibles P ( A1  A2  ...  An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( An ) Si A est un événement correspondant aux issues 1 , 2 , .... , n, A = {12n}, alors P (A) = P ({1}) + P ({2} ) + ... + P ({n}) La probabilité de A est la somme des probabilités des événements élémentaires dont la réunion est égale à A. Comment définir une probabilité à l'aide des probabilités des événements élémentaires : Inversement, soit E une expérience aléatoire ayant un nombre fini d'issues. Et soit 1n l'ensemble des issues de E. Université Ibn Tofail SMC semestre 4 Printemps 2015 Faculté des Sciences, Kénitra 5 Pr. Elkettani Pour définir une probabilité P sur P ( ) il suffit de définir les probabilités des événements élémentaires, pi = P ( { i }) Mais comme on doit avoir P (  ) = 1, il faut que : p1 + p2 + ... + pn = 1 Si cette condition est remplie, on définit alors la probabilité P ( A ) de tout événement A par P ( A ) = P ( {  } ) somme des probabilités des événements élémentaires dont la réunion est égale à A. Hypothèse d'équiprobabilité - Probabilité uniforme Soit E une expérience aléatoire ayant un nombre fini d'issues. Et soit 12 n l'ensemble des issues de E. Si on fait l'hypothèse que les événements élémentaires {i} ont la même probabilité, on dit que l'on fait l'hypothèse d'équiprobabilité. On doit alors avoir : pi = P ( { i }) = pour que p1 + p2 + ... + pn = 1 et la probabilité P ( A ) d'un événement de P est : P ( A ) = = où Card(A) désigne le nombre d'éléments de A. C) Probabilités conditionnelles et Evénements Indépendants 1) Probabilité conditionnelle : Soit ( , P () , P ) un espace probabilisé fini et A un événement lié à cet espace tel que P( A )  0 On définit l'application : PA : P   par : PA( B ) = [P(A  B)/P(A)] qu’on note aussi P(B | A) = PA( B) qui est la notation traditionnelle, mais attention le symbole B | A n'a pas de sens autonome : ce n'est pas un événement. PA( B) s'appelle la probabilité conditionnelle de B sous la condition que A soit réalisé. PA est une probabilité définie sur l'espace probabilisé ( , P () , P ). PA a toutes les propriétés d'une probabilité. En particulier : PA( ) = 1 - PA( B ) Sur l’exemple des produits de qualité, conditionnelles à l’événement B : « un produit défectueux est réalisé, définir les probabilités que se soit de type P, Q, R ou S. 2) Evénements indépendants Soit A et B deux événements d'un espace uploads/Histoire/ cours-exos-corrig-s-proba-stat-smc-2015.pdf