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Cours de Mécanique des Systèmes de Solides Indéformables M. BOURICH (ENSAM) Deu

Cours de Mécanique des Systèmes de Solides Indéformables M. BOURICH (ENSAM) Deuxième édition 2014 AVANT–PROPOS Ce manuel est un cours de base de la mécanique des systèmes de solides indéformables, particulièrement destiné aux étudiants de la deuxième année de l’École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech. La première édition du présent manuel est constituée du cours que j’ai assuré, entre 2004 et 2010, en deuxième année SMP à la faculté poly-disciplinaire de Safi. Cette seconde édition respecte le contenu du descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables de la filière EGT, de l’École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech, accréditée. L'objectif de ce cours est d'apporter une contribution à l'acquisition d'une culture scientifique de base permettant une meilleure compréhension des lois du mouvement et la maîtrise dans le maniement des outils de la mécanique. Chaque chapitre s’ouvre par la précision des objectifs et des compétences visées. L’introduction de chaque concept est accompagnée par une brève évolution dans le temps, de la sorte que l’étudiant pourra relater les événements marquants de l’histoire de la mécanique. Conformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables, le cours est articulé en sept chapitres : Calcul vectoriel-Torseurs, Cinématique du solide, Géométrie des masses, Cinétique du solide, Dynamique du solide, Liaisons-Forces de liaison, Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes. Pour l’élaboration de ce cours polycopié, j’ai utilisé de nombreuses ressources pédagogiques citées en bibliographie : ouvrages, sites Web et le polycopié de mon cher enseignant Monsieur M. Hasnaoui. Gageons que ce cours constituera un précieux outil pédagogique pour les étudiants, tant pour une préparation efficace des examens que pour l’acquisition d’une solide culture scientifique. M.Bourich Illustration de couverture : GALILÉE (Galileo Galilei, 1564-1642) (Source : https://www.delcampe.net) Mathématicien, philosophe et astronome italien. Il utilisa le premier, en 1610, un système optique pour observer le ciel et révolutionna l'observation de l'Univers. Il découvrit l'inégalité de la surface de la Lune, les 4 étoiles (satellites) autour de Jupiter, Saturne au triple corps (les anneaux), les phases de Vénus, et résolut la Voie Lactée en étoiles. Il fut un des précurseurs de la mécanique classique (celle de Newton), introduisant l'usage des mathématiques pour l'explication des lois de la physique. Il établit la loi de la chute des corps dans le vide, et donna une première formulation du principe de relativité. Il défendit ardemment les thèses héliocentriques de Copernic. Contraire aux Saintes Ecritures, le livre écrit sur le sujet fut interdit et les exemplaires saisis et brûlés. A 70 ans (en 1634), jugé par l'église catholique, il fut accusé d'hérésie et dut prononcer un serment d'abjuration pour ne pas être condamné à mort sur le bûcher. L'Église l'a réhabilité seulement en 1992. Table des matières AVANT–PROPOS ................................................................................................................................................................................................... 2 PLAN D’ÉTUDE D’UN SYSTÈME MÉCANIQUE ............................................................................................................................................................... 7 CALCUL VECTORIEL - TORSEURS...................................................................................................................................................................... 10 I– Approche historique ........................................................................................................................................................................... 10 II– Définitions ........................................................................................................................................................................................... 10 1 – Espace vectoriel ........................................................................................................................................................................... 10 2 - Espace vectoriel Euclidien .......................................................................................................................................................... 10 II- Espace Affine-Espace Métrique ....................................................................................................................................................... 10 1 – Espace affine ................................................................................................................................................................................. 10 2 - Espace métrique ............................................................................................................................................................................ 11 III– Vecteurs-Moment d’un vecteur ...................................................................................................................................................... 11 1- Introduction ...................................................................................................................................................................................... 11 2- Vecteur lié-Vecteur glissant ........................................................................................................................................................ 11 3 - Opérations sur les vecteurs ....................................................................................................................................................... 11 4- Moment d’un vecteur en un point............................................................................................................................................... 12 IV- Torseurs .............................................................................................................................................................................................. 13 1 - Introduction .................................................................................................................................................................................... 13 2- Application antisymétrique ......................................................................................................................................................... 13 3- Champ antisymétrique ................................................................................................................................................................. 14 4- Torseurs .......................................................................................................................................................................................... 15 CINÉMATIQUE DU SOLIDE ................................................................................................................................................................................. 20 I. Approche historique ........................................................................................................................................................................... 20 II. Espace Repère-Solide rigide ........................................................................................................................................................... 20 1- Espace repère ................................................................................................................................................................................ 20 2- Définition d’un solide rigide ........................................................................................................................................................ 20 III. Notion des Champs des Vitesse et des Accélérations ............................................................................................................... 21 1-Introduction ...................................................................................................................................................................................... 21 2-Champ des vitesses d’un solide .................................................................................................................................................. 21 3- Champ des accélérations d’un solide ....................................................................................................................................... 21 IV. Mouvements de translation-rotation-tangent ............................................................................................................................ 22 1- Mouvement de translation ........................................................................................................................................................... 22 2- Rotation d’un solide autour d’un axe fixe ................................................................................................................................ 22 3- Mouvement hélicoïdal .................................................................................................................................................................. 23 4- Mouvement général d’un solide : Mouvement tangent ......................................................................................................... 23 IV- Composition des Mouvements ....................................................................................................................................................... 24 1- Dérivation vectorielle ................................................................................................................................................................... 24 2- Composition des vitesses ........................................................................................................................................................... 25 3- Composition des vecteurs rotations ....................................................................................................................................... 25 4- Composition des accélérations ................................................................................................................................................. 26 V- Cinématique des solides en contact............................................................................................................................................. 26 1- Vitesse de glissement ................................................................................................................................................................... 27 2- Roulement et pivotement ............................................................................................................................................................ 28 VI- Mouvement plan d’un solide ............................................................................................................................................................ 28 1- Définition ......................................................................................................................................................................................... 28 2- Centre instantané de rotation (C.I.R.) ...................................................................................................................................... 29 3- Base et roulante-Étude analytique ........................................................................................................................................... 29 GÉOMÉTRIE DES MASSES ................................................................................................................................................................................. 35 I. Approche historique ...........................................................................................................................................................................35 II. Masse - Centre de Masse .................................................................................................................................................................35 1- Définition .........................................................................................................................................................................................35 2- Centre de masse ......................................................................................................................................................................... 36 3- Théorème de Guldin .................................................................................................................................................................... 36 Les méthodes pratiques de recherche de G dans le cas de corps homogènes : ............................................................... 36 4- Centre de masse de volume ou de surface homogènes présentant un axe de révolution ......................................... 38 III. Moment d’inertie - Opérateur d’inertie ....................................................................................................................................... 38 1- Définitions ...................................................................................................................................................................................... 38 2- Moment d’inertie .......................................................................................................................................................................... 39 Les relations entre ces grandeurs :On peut écrire .................................................................................................................. 39 3- Opérateur d’inertie en un point O ............................................................................................................................................. 40 IV- Matrice d’inertie-Matrice principal d’inertie............................................................................................................................... 41 1- Matrice d’inertie ............................................................................................................................................................................. 41 2- Matrice principale d’inertie: ....................................................................................................................................................... 42 V- Théorème de Huygens ...................................................................................................................................................................... 43 1- Relation entre les opérateurs d’inertie d’un système en deux points .............................................................................. 43 2- Théorème de Huygens .................................................................................................................................................................... 1 VI- Exemple de corps homogènes classiques ............................................................................................................................. 44 CINÉTIQUE DU SOLIDE ...................................................................................................................................................................................... 49 I. Introduction ........................................................................................................................................................................................... 49 II. Définitions des cinq quantités cinétiques ...................................................................................................................................... 49 III. Torseur Cinétique ............................................................................................................................................................................... 49 1- Quantité de Mouvement ................................................................................................................................................................ 49 2- Moment Cinétique ........................................................................................................................................................................ 50 IV. Torseur Dynamique [D] ..................................................................................................................................................................... 52 1. Quantité d'accélération (résultante dynamique) .................................................................................................................... 52 2- Moment dynamique ......................................................................................................................................................................53 3- Autres résultats ........................................................................................................................................................................... 54 V. Énergie Cinétique ................................................................................................................................................................................ 56 1- Introduction ................................................................................................................................................................................... 56 2- Deuxième théorème de Kœnig .................................................................................................................................................. 56 DYNAMIQUE DU SOLIDE .................................................................................................................................................................................... 60 I. Approche historique............................................................................................................................................................................ 60 II. Principe Fondamental de la Dynamique - Théorèmes Généraux .............................................................................................. 60 1- Introduction ................................................................................................................................................................................... 60 2- Torseur des forces appliquées à (S) ...................................................................................................................................... 60 3- Classification des forces ............................................................................................................................................................. 61 4- Principe fondamental de la dynamique (PFD) ou axiome de la dynamique ..................................................................... 61 5- Théorème des interactions ou théorème de l’action et de la réaction ............................................................................ 62 III- Changement de repère - Repère galiléen ................................................................................................................................... 63 1- Position du Problème ................................................................................................................................................................... 63 2- Torseur dynamique d’entraînement-Torseur dynamique de Coriolis .............................................................................. 63 IV. Travail et puissance ........................................................................................................................................................................... 64 1- Puissance d’un couple appliqué à un solide ............................................................................................................................. 64 2- Puissance d’un torseur de forces appliquées à un solide .................................................................................................. 64 3- Puissance du torseur des forces appliquées à un système matériel (S) ...................................................................... 65 4- Théorème de l’énergie cinétique .............................................................................................................................................. 66 LIAISONS - FORCES DE LIAISON ...................................................................................................................................................................... 70 I. Introduction ........................................................................................................................................................................................... 70 II. Liaisons-Actions de contact .............................................................................................................................................................. 70 1- Définition ......................................................................................................................................................................................... 70 2- Liaisons ........................................................................................................................................................................................... 70 3- Liaison holonome ........................................................................................................................................................................... 71 4- Action de contact ........................................................................................................................................................................... 71 III. Lois de Coulomb ................................................................................................................................................................................... 71 1- Approche historique ...................................................................................................................................................................... 71 2- Réaction normale ......................................................................................................................................................................... 72 3- Réaction tangentielle ................................................................................................................................................................... 72 4- Vitesse de rotation de pivotement-roulement ....................................................................................................................... 73 5- Puissance totale des actions de contact ................................................................................................................................ 73 IV. Exemple d’application: mouvement d’une sphère sur un plan incliné..................................................................................... 74 MOUVEMENT D’UN SOLIDE AUTOUR D’UN POINT OU D’UN AXE FIXES ................................................................................................................ 79 I- Approche historique ............................................................................................................................................................................ 79 II- Rotation d’un Solide autour d’un Point Fixe (Angles d’Euler) .................................................................................................... 79 1- Angles d’EULER ............................................................................................................................................................................... 79 2- Moment cinétique en O du solide : ........................................................................................................................................... 80 3- Moment dynamique en O: ........................................................................................................................................................... 80 4- Énergie cinétique: ........................................................................................................................................................................ 80 III- Exemple de la toupie symétrique sur sa pointe fixe O ............................................................................................................... 81 VI. Solide mobile autour d’un axe fixe ........................................................................................................................................... 84 1. Exemple ............................................................................................................................................................................................ 84 2. Énergie cinétique .......................................................................................................................................................................... 85 3. Mouvement du centre de gravité ............................................................................................................................................. 85 BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................................................................................................ 87 Mécanique des systèmes de solides indéformables M.BOURICH 7 PLAN D’ÉTUDE D’UN SYSTÈME MÉCANIQUE Définir le système mécanique étudié : (S) Étude cinématique : vecteurs rotation vecteurs vitesses veteurs accélérations …. Géométrie de masse : masse centre de masse, d’inertie matrice d’inertie …… Étude cinétique : déterminer les torseurs des actions mécaniques extérieures agissant sur (S) et les ramener en des points judicieusement choisis Étude dynamique : application des théorèmes généraux au système (S) Résolution de système différentiel pour l’obtention des équations du mouvement de (S) Mécanique des systèmes de solides indéformables M.BOURICH 8 1 Chapitre Calcul Vectoriel-Torseurs Mécanique des systèmes de solides indéformables M.BOURICH 9 Objectifs : Définir un torseur (torsur symétrique et anti-symétrique, invariants scalaires) ; Décomposer un torseur (couple et glisseur) ; Comprendre la notion de torseur équiprojectif ; Décrire les élements de réduction d’un torseur ; Déterminer l’axe central. Galilée : (1564-1642) La philosophie est écrite dans ce grand livre, l'univers, qui ne cesse pas d'être ouvert devant nos yeux. Mais ce livre ne peut se lire si on ne comprends pas le langage et on ne connaît pas les caractères avec lesquels il est écrit. Or, la langue est celle des mathématiques, et les caractères sont triangles, cercles et d'autres figures géométriques. Si on ne les connaît pas, c'est humainement impossible d'en comprendre même pas un seul mot. Sans eux, uploads/Histoire/ cours-de-me-canique-des-syste-mes-de-solides-inde-formables 1 .pdf