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Dérivée (Redirigé depuis Calcul différentiel) Aller à : Navigation, rechercher

Dérivée (Redirigé depuis Calcul différentiel) Aller à : Navigation, rechercher En analyse, le nombre dérivé en un point d'une fonction à variable et valeurs réelles est le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C'est le coefficient directeur de l'approximation affine de cette fonction en ce point. (Ce nombre n'est donc défini que si cette tangente — ou cette approximation — existe.) La dérivée en un point d'une fonction à plusieurs variables réelles, ou à valeurs vectorielles, est plus couramment appelée différentielle de la fonction en ce point, et n'est pas traitée ici. La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. La notion de nombre dérivé a vu le jour au XVIIe siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui le nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ». La dérivée de la fonction est notée en mathématiques ou . On utilise aussi des notations spécifiques (surtout en physique) pour désigner la dérivée par rapport au temps qui s'écrit avec un point surmontant la lettre ( ). La dérivée seconde s'écrivant alors grâce à un tréma surmontant la lettre. On utilise dans le même esprit, les notations prime et seconde pour noter la dérivée par rapport à l'espace. La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation. En sciences, lorsqu'une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée de la dérivée donne l'accélération. Par exemple, la vitesse instantanée d'un mobile est la valeur à cet instant de la dérivée de sa position par rapport au temps, et son accélération est la valeur à cet instant de la dérivée par rapport au temps, de sa vitesse. On généralise la notion de dérivée en étendant celle-ci au champs complexe et on parle alors de dérivée complexe Il existe aussi une définition purement algébrique de la dérivée. On en trouve un exemple dans l'article polynôme formel. Sommaire [masquer]  1 Approche intuitive  2 Approche historique  3 Définition formelle  4 Lien entre dérivabilité et continuité  5 Fonction dérivée  6 Notations  7 Dérivées usuelles et règles de dérivation  8 Dérivation numérique  9 Dérivation graphique  10 Dérivée d'ordre n o 10.1 Formule de Leibniz  11 Propriétés des fonctions dérivables o 11.1 Théorème de Rolle o 11.2 Théorème des accroissements finis o 11.3 Théorème de Darboux  12 Dérivées des taux de variation liés  13 Analyse d'une fonction dérivée  14 Dérivée et optimisation  15 Dérivée algébrique  16 Articles connexes  17 Liens externes Approche intuitive[modifier] En 0, la courbe est décroissante, donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point est négatif, et donc, le nombre dérivé y est négatif (il vaut -1). En 1, la courbe est toujours décroissante, mais la pente y est moindre (-0,5). En 2, la courbe est parfaitement horizontale, donc la dérivée est nulle (0). En 3, la courbe est croissante, donc le nombre dérivé y est positif (0,5). Pour approcher cette notion de manière intuitive, commençons par nous donner une courbe représentative d'une fonction continue dans un repère cartésien, c'est-à-dire tracée d'un seul trait de crayon, et bien « lisse »; on dira là que la fonction associée est dérivable. Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-à-dire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente. Si la courbe « monte » (c'est-à-dire si la fonction associée est croissante), la tangente sera également montante ; inversement, si la fonction est décroissante, la tangente sera descendante. Si on se donne une abscisse x0 pour laquelle la fonction est dérivable, on appelle nombre dérivé de en x0 le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x0. Ce réel donne de précieuses informations sur le comportement local d'une fonction : c'est la mesure algébrique de la vitesse à laquelle cette fonction change lorsque sa variable change. Pour une fonction à plusieurs variables, on parle de la dérivée partielle par rapport à l'une de ses variables. Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante. Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point. Approche historique[modifier] Article détaillé : Histoire du calcul infinitésimal. Gottfried Wilhelm von Leibniz Dès la seconde moitié du XVIIe siècle, le domaine mathématique de l'analyse numérique connut une avancée prodigieuse grâce aux travaux de Newton et de Leibniz en matière de calcul différentiel et intégral, traitant notamment de la notion d'infiniment petit et de son rapport avec les sommes dites intégrales. C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du XVIIe siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait « touchantes ». Le marquis de l'Hospital contribuera à diffuser le calcul différentiel de Leibniz à la fin du XVIIe siècle grâce à son livre sur l'analyse des infiniment petits. Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui porte son nom) contribua également à l'essor de l'analyse différentielle. Jean Le Rond d'Alembert. Néanmoins cette théorie tout juste éclose n'est pas encore, à l'époque, pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait exigée, et notamment la notion d'infiniment petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. C'est au XVIIIe siècle que d'Alembert introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème : n'est pas encore construit formellement (voir Construction des nombres réels). C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIXe siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé. C'est à Lagrange (fin du XVIIIe siècle) que l'on doit la notation f'(x), aujourd'hui tout à fait usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f en x. C'est aussi à lui qu'on doit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique. Définition formelle[modifier] Soit une fonction réelle à valeurs réelles définie sur une réunion quelconque d'intervalles non triviaux, et appartenant à l'intérieur de l'ensemble de définition . Pour tout tel que , on appelle taux d'accroissement de en et avec un pas de la quantité : Il s'agit du coefficient directeur de la droite reliant les points de coordonnées (x0,f(x0)) et (x0 + h,f(x0 + h)). Si admet une limite finie lorsque tend vers 0, on dit que f est dérivable en x0, auquel cas le nombre dérivé de en x0 est égal à la limite de ce taux d'accroissement. On note alors : Ou, de manière équivalente : Une fonction pour laquelle le taux d'accroissement en un point admet une limite finie (qui est le nombre dérivé) est dite dérivable en ce point. Ce calcul de limite revient graphiquement à rechercher la tangente à la courbe en ce point. Ainsi, le nombre dérivé d'une fonction en un point, s'il existe, est égal à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point. La dérivation peut aussi être définie pour des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans d'autres ensembles que . Par exemple, une fonction d'une variable réelle, à valeurs dans , est dérivable en si et seulement si toutes ses coordonnées sont dérivables en ; et sa dérivée est la fonction dont les coordonnées sont les dérivées des coordonnées de . C'est un cas particulier de fonctions de variable vectorielle et à valeur dans un espace vectoriel normé ou métrique. Lien entre dérivabilité et continuité[modifier] Si une fonction est dérivable en un point alors elle est continue en ce point, mais la réciproque est fausse. Par exemple : au point 0, la fonction est continue mais n'est pas dérivable. Il en est de même de la fonction racine cubique. Fonction dérivée[modifier] La dérivabilité est a priori une notion locale (dérivabilité en un point), mais si une fonction est dérivable en tout point d'un intervalle, on peut définir sa fonction dérivée sur l'intervalle en question. La fonction dérivée de f, souvent notée (prononcer « f prime ») est définie sur et le domaine de dérivabilité de f (ensemble des points de uploads/Histoire/ derivee.pdf