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Introduction aux probabilités et à la statistique Jean Bérard 2 Avertissement C

Introduction aux probabilités et à la statistique Jean Bérard 2 Avertissement Ces notes sont en cours d’élaboration. Il se peut donc qu’y subsistent un certain nombre d’erreurs, d’incohérences, et/ou de passages inachevés. Table des matières Introduction 7 1 Le modèle probabiliste 13 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Le point de vue formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Mais que représente exactement ce formalisme ? . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Espace des possibles et choix du niveau de description . . . . 16 1.3.2 Sens concret – sens formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Signiﬁcation concrète de la probabilité . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Probabilité et événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.1 Probabilité d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.2 Probabilité et opérations sur les événements . . . . . . . . . . 32 1.4.3 Quelques exemples de modèles probabilistes . . . . . . . . . . 35 1.5 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5.1 Notions de dépendance et d’indépendance entre événements . 46 1.5.2 Eﬀet de loupe et biais de sélection . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.5.3 Représentation en arbre des modèles probabilistes . . . . . . . 60 1.6 Construire un modèle approprié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.6.1 Quelques pistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.6.2 Compatibilité de deux modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.6.3 De l’importance de décrire explicitement le modèle . . . . . . 73 1.7 Un exemple fondamental : la succession d’épreuves indépendantes . . 74 1.7.1 Une histoire de singe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.7.2 Tout résultat est exceptionnel ! . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.7.3 Succession indépendante ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.8 Coïncidences troublantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.8.1 C’est vraiment incroyable ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.8.2 Ce que l’on observe est presque toujours improbable . . . . . 90 1.8.3 Des coïcidences surprenantes doivent se produire . . . . . . . 90 1.8.4 Attention à l’interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4 1.8.5 Quand s’étonner ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.8.6 Un magicien doué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 1.9 Auto-évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2 Variables aléatoires 121 2.1 Introduction et déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.2 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.2.1 Le point de vue formel pour les variables aléatoires discrètes . 125 2.2.2 La loi dans l’interprétation fréquentielle de la probabilité – notion de loi empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.2.3 Fonction de répartition d’une loi discrète . . . . . . . . . . . . 131 2.2.4 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.2.5 Quelques lois discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2.2.6 Variables aléatoires et lois continues . . . . . . . . . . . . . . 153 2.2.7 Exemples de lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 2.3 Loi jointe de plusieurs variables aléatoires, vecteurs aléatoires . . . . 170 2.3.1 Indépendance de variables aléatoires, cas discret . . . . . . . . 171 2.3.2 Vecteur aléatoire continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 2.3.3 Somme de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . 172 2.4 Opérations sur les lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 2.5 Loi d’une fonction d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 176 2.6 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 2.6.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 2.6.2 Espérance et moyenne, loi empirique . . . . . . . . . . . . . . 180 2.6.3 Le raisonnement de Huygens * . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 2.6.4 L’utilité espérée * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 2.6.5 L’espérance comme indicateur de position . . . . . . . . . . . 182 2.6.6 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 2.6.7 L’inégalité de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 2.6.8 Opérations algébriques : linéarité de l’espérance . . . . . . . . 200 2.6.9 Opérations algébriques : espérance d’un produit . . . . . . . . 204 2.6.10 Espérance et variance des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . 210 2.6.11 Régression linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 2.7 Probabilité, loi et espérance conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . 226 2.8 Conditionnement par une variable aléatoire de loi continue . . . . . . 229 2.9 Transformées de Laplace et de Fourier d’une loi de probabilité * . . . 230 2.9.1 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Histoire/ cours-www 1 .pdf