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Composition 1ère période 1996 – 1997 Epreuve de Mathématiques Séries : MTI–MTGC

Composition 1ère période 1996 – 1997 Epreuve de Mathématiques Séries : MTI–MTGC Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako EXERCICE 1 : (6 points) Au nombre complexe z de module 1 et d’argument θ, on associe le nombre complexe 1 1 2 1 2 + + + + + = z z z z T 1° ) Pour quelles valeurs de z, T est-il défini ? 2° ) z étant le conjugué de z, montrer que T peut s’écrire : 1 2 1 + + + + + = z z z z T En déduire, en fonction de θ, la partie réelle X et la partie imaginaire Y de T. 3° ) a) Déterminer θ pour que T soit réel b) T peut-il être imaginaire pur ? Justifier la réponse. EXERCICE 2 : (3 points) On considère la fonction f définie sur] 0 ; + ∞ [ par x x x f 1 2 1 ) ( 2 − + = a) Montrer que f est prolongeable par continuité sur [ 0 ; + ∞ [. b) Ce prolongement par continuité est-il dérivable en 0 ? Si oui quel est le nombre dérivé en 0 ? Compo 1ème période 1997 MTI – MTGC Page 01 Adama Traoré Professeur Lycée Technique PROBLEME : (11 points) Soit f la fonction de ℝ vers ℝ définie par 2 ) 2 ( ) 1 ( ) ( + + = x x x x f et soit (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i ; j). 1° ) Etudier les variations de f ; et en déduire les asymptotes éventuelles à la courbe (C ). 2° ) a) Le point I ( –2 : 1) est-il un centre de symétrie pour la courbe (C ) ? b) Quelles sont les coordonnées du point d’intersection A de la courbe (C ) avec la droite d’équation y = 1 ? 3° ) Donner une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d’abscisse 0. Déterminer la position de (C ) par rapport à la droite (T). 4° ) Tracer la courbe (C ) et la droite (T). 5° ) Soit l’équation (E ) où x désigne une inconnue réelle : (E ) : (m – 1) x 2 + (4m –1) x + 4m = 0 ; m étant un paramètre réel. A l’aide de la courbe (C ) déterminer pour quelles valeurs de m, (E ) admet : a) Zéro solution ; b) Deux solutions négatives ; c) Une seule solution. 6° ) Soit g la fonction de ℝ vers ℝ définie par : 2 2 ) 2 ( ) ( + + = x x x x g et soit (C’) sa représentation graphique dans le repère (O ; i ; j ). Comment (C’) se déduit-elle de (C ) ? Tracer la courbe (C’) dans le même repère que (C ). 7° ) Soit h la fonction définie par :    − ∠ + = − ≥ = 1 2 ) ( 1 ) ( ) ( x si a x x h x si x f x h Pour quelle valeur du réel a la fonction h est-elle continue au point – 1 ? Pour cette valeur, étudier la dérivabilité de la fonction h au point – 1. Compo 1ème période 1997 MTI – MTGC Page 02 Adama Traoré Professeur Lycée Technique uploads/Histoire/ exercice-1-6-points-z-z-z-z-t.pdf