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1 Département « Economie et Gestion » Cours de Probabilités Semestre 2 Professe

1 Département « Economie et Gestion » Cours de Probabilités Semestre 2 Professeur Tachfine Youssef 2 Chapitre 1 : Fondements du calcul de probabilités Dans ce chapitre, on s’intéresse à la probabilité de voir se réaliser un événement ou des événements particuliers. Il peut d’agir par exemple de la probabilité qu’a notre produit d’être choisi dans les rayons d’un super marché par les acheteurs, de la probabilité qu’un client se présente devant un guichet bancaire pendant une période donnée de la journée, etc. La probabilité qu’on cherche à calculer est la probabilité mathématique ou d’une autre façon les chances exactes pures de survenance de ces événements. Lorsque notre produit remplit le rayon du magasin à raison de 50% à côté du même produit (semblable) d’autres entreprises, on dit qu’on a 50% de chances (à priori) qu’un acheteur qui s’y présente choisit le notre. Mais pour avoir ces chances, il faut que ce choix se fasse au hasard. Si dans cette expérience, le client par exemple sait déjà ce qu’il cherche, il n’y a pas de hasard. Soit nos chances sont plus que ces 50%, soit à l’inverse elles peuvent même être nulles. Par conséquence, avant de voir la définition de la probabilité et comment on la calcule, on s’intéresse tout d’abord à la notion de hasard et aux événements. C’est quoi un événement ? Dans quel cadre il s’opère ? Quelles sont les caractéristiques des événements ? Ce sont les questions auxquelles on donnera des réponses dans cette première section. I- Vocabulaire des événements : 1- Vocabulaire de base Une épreuve, ou expérience, est une action dont le résultat est soumis au hasard. L’univers, ou référentiel, noté Ω, associé à une épreuve est l’ensemble des résultats possibles. Chacun de ces résultats est appelé une éventualité. Un événement est un sous-ensemble de l’univers Ω. Un événement qui ne contient qu’un seul élément est appelé un événement élémentaire. Exemple : On lance un dé équilibré (qui comporte 6 faces numérotées de 1 à 6) et note le chiffre obtenu. Cela constitue une épreuve. Le hasard veut dire que chaque face possède les mêmes chances que les autres d’apparaitre comme résultat du lancer. Rien ne perturbe ce hasard. Le dé est bien équilibré, celui qui le lance n’est pas un magicien, etc. L’univers correspondant est l’ensemble Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Le sous-ensemble A = {1, 3, 5} constitue un événement. On peut le définir d’une autre façon A : « Obtenir un chiffre impair ». L’événement B = {1} (obtenir le chiffre 1) est un événement élémentaire. Dans cette expérience, on a 6 événements élémentaires. Si on obtient, après le lancement, un résultat qui appartient à un événement donné, on dit que cet événement est réalisé. Dans le cas contraire, on dit qu’il n’est pas réalisé. Par exemple, si le résultat est 5, on dit que l’événement A est réalisé et que l’événement B ne l’est pas. 2- Inclusion des événements 3 Soient A et B deux événements. Si A est un sous-ensemble de B (ou une partie de B), on dit que A est inclus dans B et on note : A⊂B. Dans ce cas, A implique B. C’est-à-dire, lorsque A est réalisé, B l’est aussi. Par exemple A = {2, 4} ⊂ B = {2, 4, 6} (lancer du dé). Lorsque A est réalisé, B l’est nécessairement aussi. Mais lorsque B est réalisé, il se peut que A ne le soit pas si le résultat est 6. B A 3- Evénement impossible, événement certain et événement contraire Parmi les sous-ensembles de Ω figurent l’ensemble vide Ø et Ω lui-même. Le premier est appelé événement impossible. Il ne contient aucun élément. Par contre, le deuxième est appelé événement certain car il contient tous les éléments ou résultats possibles. Il est toujours réalisé. Soit A un événement. L’événement dit contraire, noté A, est l’événement qui est réalisé si et seulement si A ne l’est pas. A est le complémentaire de A dans l’univers Ω. Par exemple, au lancer du dé, si A = {1, 3, 5}, on a A = {2, 4, 6}. 4- Intersection et réunion des événements Soient A et B deux sous-ensembles de Ω (donc deux événements). L’intersection de A et B, noté A∩B,est l’ensemble des éléments de Ω appartenant à la fois à A et à B. Par exemple, pour A = {1, 3, 5} et B = {2, 3, 6}, on a A∩B = {3}. Lorsque A∩B est vide, on dit que A et B sont des événements incompatibles. Par exemple lorsque A = {1, 3, 5} et B = {2, 4} (lancé du dé). La réunion de A et B, notée A∪B, est l’ensemble des éléments de Ω appartenant soit à A, soit à B, soit à leur intersection A∩B. Pour A = {1, 3, 5} et B = {2, 3, 4}, on a A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}. 5- Propriétés A∩B=A ∪B et A∪B=A ∩B. Ces résultats peuvent être généralisés à n événements. Pour A = {1, 3, 5} et B = {2, 3, 4}, on a A = {2, 4, 6} et B = {1, 5, 6}. On a aussi, A∩B = {3} et A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}. On peut observer que A∩B={1,2,4,5,6 }=A ∪B. De même, on peut vérifier que A∪B={6 }=A ∩B. II- Probabilités : définitions et axiomes Intuitivement, la notion de probabilité est relative aux chances qu’on a de voir se réaliser un événement. A A 4 Au 17ème siècle, les premières règles de calcul des probabilités ont été établies à partir de la notion de fréquence observée. Si on jette un dé un grand nombre de fois (600 fois, 6000 fois, 60000, …), on constate que la fréquence d’apparition du chiffre 5 (par exemple) est voisine de 1/6 et se stabilise autour de 1/6 lorsque le nombre de lancers devient très grand. Certains scientifiques ont adoptée ainsi cette notion de « fréquence limite » comme probabilité d’obtenir « 5 » lors d’in lancer de dé. Par la suite, on a construit (Kolmogorov, 1930) une théorie mathématique des probabilités basée sur des axiomes fondamentaux. 1- Définition théorique d’une probabilité sur un univers Ω et ses conséquences Une probabilité est une application P permettant d’associer un réel P(A) à tout événement A et qui vérifie les axiomes suivants : i. Pour tout événement A, 0 ≤P(A) ≤1 ; ii. P (Ω) = 1 ; iii. Pour tous événements A et B incompatibles P (A∪B) = P(A) + P(B) On dit que P(A) est la probabilité de réaliser l’événement A. P étant une probabilité définie sur Ω, on a les propriétés suivantes : i. P(Ø) = 0 ii. P (A) = 1 – P(A) iii. Si A⊂B, alors P(A) ≤ P(B) iv. Pour tous événements A et B : P (A∪B) + P ( A∩B)= P(A) + P(B) Application 1 : Chaîne de fabrication des boulons A la sortie d’une chaîne de fabrication, des boulons sont susceptibles de présenter deux défauts (dans la hauteur et le diamètre par exemple). Un très grand nombre d’observations a permis d’établir que : - La proportion des boulons fabriqués ayant le défaut « a » est de 5% - La proportion des boulons fabriqués ayant le défaut « b » est de 3% - La proportion des boulons fabriqués ayant les deux défauts « a » et « b » est de 1% Notre expérience consiste à prendre de la production un boulon au hasard. On note A l’événement : « le boulon prélevé présente le défaut « a » » et B l’événement : « le boulon prélevé présente le défaut « b » ». On a donc P(A) = 0,05, P(B) = 0,03 et P ( A∩B) = 0,01. Il faut remarquer par ailleurs que la probabilité est un chiffre compris entre 0 et 1 et qu’il ne faut pas l’écrire en pourcentage. Déterminer la probabilité que le boulon choisi : 1) présente le défaut « a » ou le défaut « b » 2) présente le défaut « a » seulement 3) ne présente aucun défaut Réponse 1) P (A∪B) = P(A) + P(B) - P ( A∩B) = 0,05 + 0,03 – 0,01= 0,07 5 L’union de A et B veut dire les éléments appartenant à A ou à B ou encore à A∩B. Lorsqu’on dit « ou », mathématiquement c’est +, mais à l’intérieur de A il y a A∩B (regarder schéma en bas) et aussi à l’intérieur de B. Donc, il y a deux fois A∩B. Ainsi, on doit soustraire une interaction (A∩B). 2) P (A’) = P(A) - P ( A∩B) = 0,05 – 0,01 = 0,04. Lorsqu’on dit que le boulon choisi présente le défaut « a » cela ne veut pas dire qu’il ne présente pas d’autres défauts aussi. Mais, lorsqu’on dit qu’il contient le défaut « a » seulement, là il faut soustraire toute interaction avec d’autres défauts. 3) P (A∪B¿ = 1- P (A∪B) = 0,93 On peut uploads/Histoire/ cours-probabilites-tachfine.pdf