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Ecole Militaire Polytechnique Chapitre1 1 Chapitre1 Introduction au calcul de p

Ecole Militaire Polytechnique Chapitre1 1 Chapitre1 Introduction au calcul de probabilités 1.1 Epreuve ou expérience aléatoire, évènement On appelle épreuve ou expérience aléatoire une expérience que l’on peut répéter dans les mêmes conditions et dont le résultat varie. On désigne par Ω l’ensemble de tous les résultats possibles et on l’appelle l’ensemble fondamental. A l’épreuve sont liés des « événements » qui seront ou ne seront pas réalisés une fois l’épreuve effectuée. Les éléments de l’ensemble Ω sont appelés événements élémentaires. Ils constituent un système complet d’événements: dans une épreuve un et un seul événement est réalisé à la fois. On peut donc dire qu’un événement est constitué par la combinaison (réunion, intersection et complémentation) d’événements élémentaires ; c’est donc un sous ensemble E deΩ. On dit qu’un événement A s’est réalisé si le résultat, a, de l’expérience est un événement élémentaire a∈A. Avant que l’épreuve ne soit réalisée on dit que ces événements sont aléatoires car on ne sait pas a priori quel événement sera réalisé. Exemple 1 a) Le lancer d’une pièce de monnaie est une épreuve. L’ensemble des événements élémentaires liés à cette épreuve est Ω = {pile, face} b) Soit un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Le lancer de ce dé est une épreuve. L’ensemble des événements élémentaires liés à cette épreuve est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. c) On considère le classement des 20 élèves d’une classe, numérotés de 1 à 20. L’ensemble Ω est constitué par toutes les permutations des éléments de l’ensemble {1, 2, …20}. d) On s’intéresse à la durée de vie d’une ampoule. Dans ce cas, les éléments de Ω sont des intervalles de R de la forme Ω ={ω / 0≤ω ≤ L}. (L est la durée de vie maximale pour une ampoule). 1.2 Espace probabilisé Lorsqu’on effectue une expérience aléatoire, on voudrait quantifier les « chances » de se réaliser pour chaque événement aléatoire. Par exemple, dans le cas de l’épreuve b), on voudrait connaître les « chances » d’obtenir un nombre pair. Cette chance est la probabilité associée à l’événement E. La notion courante de probabilité a une double origine. a) une source intuitive : lorsqu’on jette un dé on pense, a priori, que chacune des positions du dé a la même probabilité de se réaliser. b) une source « expérimentale » : l’observation des fréquences des résultats d’obtention de 6 quand on jette plusieurs fois de suite un même dé ne contredit pas l’intuition et on constate que « en moyenne » dans un cas sur 6 on obtient un 6. Cependant du point de vue mathématique, les probabilités sont définies par un certain nombre d’axiomes sans qu’il soit nécessaire de faire référence à un phénomène concret. Mais ces axiomes ne sont pas arbitraires, ils ont été choisis de manière que la notion de probabilité qu’on en tire recouvre le concept intuitif. ¾ Tribu : Une tribu F ou σ -algèbre sur un ensemble Ω est une famille de parties de Ω qui vérifie les propriétés suivantes : Ecole Militaire Polytechnique Chapitre1 2 1) Ω∈ F 2) A F A F ∈ − Ω ⇒ ∈ 3) A1, A2,………An F A F i ∈ ∪ ⇒ ∈ Le couple (Ω,F) est appelé espace probabilisable ou mesurable. On démontre facilement les deux résultats suivants : a) φ ∈ F b) A1,A2,………An ∈ F ⇒ F A i ∈ ∩ F est donc un ensemble de parties de Ω fermé pour l’union, l’intersection et la complémentation. C’est l’ensemble des événements liés à l’épreuve considérée. L’intersection de deux événements est donc un événement ; de même pour l’union et le complémentaire. Exemple 2 : F = P(Ω) tribu triviale.(ensemble de toutes les parties de Ω) F = {φ ,Ω} tribu grossière. Remarque 1 En calcul de probabilités et variables aléatoires sur des ensembles continus, l’ensemble Ω est l’ensemble R (ou un intervalle de R) et la tribu F est l’ensemble des intervalles ouverts ou fermés, en particulier F contient tout élément x ∈R. Cette tribu est appelée la tribu borélienne. ¾ Probabilité Soit (Ω,F) un espace probabilisable. On appelle probabilité une application P de F dans [0 1] vérifiant les axiomes suivants (axiomes de Kolmogorov). 1) 0 ≤ P(A ) ≤ 1 ∀A∈ F. 2) P(Ω) = 1 3) P ( ∞ = ∪ 1 i ) = ∑ ∞ =1 ) ( i i A P ; φ = ∩ j i A A j i ≠ ∀ L’axiome (3) est appelé axiome des probabilités totales. Compte tenu de cet axiome, la probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le réalisent. Le triplet (Ω,F, P) est appelé espace probabilisé ou espace de probabilité. Remarque 2 Le choix de Ω et F n’est pas à la libre disposition de l’analyste. Il est dicté par le problème qu’on étudie et traduit le niveau de connaissance qu’on a du problème. Exemple 3 Supposons qu’on jette un dé non homogène : on sait seulement que la probabilité d’avoir un nombre pair égale 1/3 et impair 2/3. P étant une application de F dans [0,1], on doit pouvoir associer une valeur à chaque élément de F; or dans ce cas on ne sait pas par exemple calculer la probabilité d’obtenir 1 (obtenir 1 n’est pas un événement). Donc pour que l’application P(.) soit définie, on doit prendre F = {φ ,Ω , Pair,impair}. Les cas particuliers suivants jouent un rôle important dans la pratique. Ecole Militaire Polytechnique Chapitre1 3 a) Définition classique Considérons une épreuve dont l’espace fondamental Ω a exactement n éléments ayant tous la même chance d’apparition et mutuellement exclusifs. Soit E un événement et supposons qu’il y a exactement m résultats qui le réalisent ; ces résultats sont dits favorables à l’événement A La probabilité de l’événement E est définie par: P(E) = n m (1) Exemple 4 On jette un dé. Soit E l’événement « le résultat est un nombre pair » alors : il y a n = 6 résultats possibles et m = 3 {2,4,6} sont favorables à E P(E) = 6 3 = 2 1 b) Définition fréquentielle Supposons qu’on répète une épreuve n fois dans les mêmes conditions. Si l’événement E s’est réalisé m fois, la fréquence relative n m approche, quand n est suffisamment grand, la probabilité P(E) de l’événement E. P(E) = n m (2) Exemple 5 On a jeté une pièce de monnaie 100000 fois et obtenu « face » 49815 fois. Alors la fréquence relative d’apparition de « face » est de 0,49815. On dit que la probabilité d’obtenir face est de 0,5 du fait que c’est le nombre vers lequel tend la fréquence relative. c) Définition géométrique Soit S et s deux surfaces fermées telles que s⊂ S. si on tire un point au hasard sur la grande surface S alors la probabilité qu’il tombe dans la petite surface s est : P = S s surface surface (3) Exemple 6 On tire au hasard sur un cercle. Quelle est la probabilité de toucher plus prés du centre que de la circonférence. Soit r le rayon du cercle. Alors on doit toucher à l’intérieur de la surface du cercle de rayon r/2, soit P = 4 1 ) 2 ( 2 2 = r r π π 1.3 Correspondance entre le langage des probabilités et celui des ensembles Soient A et B deux événements de Ω : 9 A∩B = { B Aet ∈ ∈ Ω ∈ ω ω ω / }. On lit l’événement (A et B) est réalisé si et seulement si l’événement A et l’événement B sont réalisés. 9 A∪B = { B Aou ∈ ∈ Ω ∈ ω ω ω / } On lit l’événement (A ou B) est réalisé si et seulement si l’événement A ou l’événement B (ou les deux) sont réalisés. Ecole Militaire Polytechnique Chapitre1 4 9 A = { A ∉ Ω ∈ ω ω / } = complémentaire de A. On lit l’évènement (non A) est réalisé ssi l’événement A ne l’est pas. 9 A-B = A∩B = { B Aet ∉ ∈ Ω ∈ ω ω ω / } L’évènement (A et non B) est réalisé ssi l’événement A est réalisé et B ne l’est pas. 9 Ω = l’évènement certain, toujours réalisé. 9 Φ = l’évènement impossible, jamais réalisé. Remarque 3 Si A∩B = Φ , on dit que les évènements A et B sont incompatibles. Ils ne se réalisent jamais simultanément. 1.4 Extension de l’axiome des probabilités totales Lorsque les événements A et B ne s’excluent pas mutuellement, la probabilité de l’événement somme est donné par la formule : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) (4) En effect A∪B = A∪(B-A). A et (B-A) étant disjoints, on a : P(A∪B) = P(A) + P (B-A) et P(B-A) = P(B) – P(A∩B) Exemple 7 Dans une classe de 10 garçons et 20 filles, la moitié des garçons et la moitié des filles ont les uploads/Histoire/ cha-1.pdf