Loi binomiale, cours, terminale STMG Loi binomiale, cours, terminale STMG 1 Loi

Loi binomiale, cours, terminale STMG Loi binomiale, cours, terminale STMG 1 Loi de Bernoulli Définition : Soit p un nombre réel tel que p ∈[0; 1]. Soit X une variable aléatoire. On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si : • X prend pour seules valeurs 1 (« succès ») et 0 (« échec ») ; • P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 −p. Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Alors son espé- rance est E(X) = p Preuve : D’une part, E(X) = 0 × P(X = 0) + 1 × P(X = 1) = 0 × (1 −p) + 1 × p = p. Algorithmique : Algorithme de simulation d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Données : p : nombre décimal entre 0 et 1 ; Début traitement t prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu ; si t < p alors Afficher "Succès" ; fin sinon Afficher "Échec" ; fin Fin http: // mathsfg. net. free. fr 1 Loi binomiale, cours, terminale STMG Exemple : TI : Prompt P NbreAleatoire() ▷T If T < P Then Disp "SUCCES" Else Disp "ECHEC" Casio : ”P”? →P Rand# →T If T < P Then "SUCCES" Else "ECHEC" XCas : saisir("Entrer p : ",p); t:=alea(0,1); si (t<p) alors afficher("Succès"); sinon afficher("Echec"); fsi; Python : from random import * def simulation_Bernoulli(p): t=random() if (t<p): return "Succès" else: return "Echec" 2 Schéma de Bernoulli Définition : Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’influence pas le résultat de l’autre. Exemple : il y a indépendance lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Définition : La répétition d’une expérience aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p, ceci n fois de manière indépendante, constitue un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. Propriété : Dans un schéma de Bernoulli, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat http: // mathsfg. net. free. fr 2 Loi binomiale, cours, terminale STMG Exemple de savoir faire : • [Construire un arbre représentant un schéma de Bernoulli de paramètres donnés] On contrôle la qualité d’un produit sur une chaîne de production. On prélève 3 produits au hasard. On suppose que les prélèvements sont indépendants. Statistiquement, chaque produit a une probabilité p = 0, 05 d’être défectueux. On a donc un schéma de Bernoulli de paramètres p = 0, 05 et n = 3. • [Calculer la probabilité d’un événement représenté par un chemin sur un arbre pon- déré] Sur l’arbre ci-dessus représentant un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = 0, 05, la probabilité d’avoir les deux premières expériences qui donnent un succès et la dernière qui donne un échec est P(SS ¯ S) = 0, 052 × 0, 95 ≈0, 002 soit 0,2 % de chances d’avoir deux produits défectueux sur les trois prélevés. 3 Loi binomiale Définition et propriété : Soient n et k deux entiers naturels avec k ≤n. On note n k  (on dit « k parmi n ») le nombre de manières d’obtenir k succès et n −k échecs pour n répétitions indépendantes de la même expérience de Bernoulli. http: // mathsfg. net. free. fr 3 Loi binomiale, cours, terminale STMG Exemple : 3 3  = 1 : il y a une seule manière d’obtenir 3 succès lors de la répétition de 3 épreuves identiques indépendantes. 3 2  = 3 : il y a trois manières d’obtenir 2 succès et un échec lors de la répétition de 3 épreuves identiques indépendantes (SSE ; SES ; ESS). Définition : On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre p ∈[0; 1]. On répète n fois (n ≥1) cette expérience indépendamment et on note X la variable aléatoire qui compte le nombre de succés. On dit alors que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p et on note X ∼B(n; p). Propriété : Si X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors la probabilité d’obtenir k succès avec k ∈{0; 1; 2; ...; n} est P(X = k) = n k  pk(1 −p)n−k . Preuve : Il y a n k  manières d’obtenir k succès dans n répétitions d’expériences identiques et indépendantes. La probabilité de chacune de ces événements qui sont évidemment incompatibles est pk(1 −p)n−k d’où le résultat. http: // mathsfg. net. free. fr 4 Loi binomiale, cours, terminale STMG Exemple de savoir faire : [Calculer la probabilité de P(X = k) où X suit une loi binomiale à partir d’un arbre pon- déré] On considère le problème précédent de test des produits d’une chaîne de production. Les prélèvements étant supposés indépendants les uns des autres, l’expérience constitue un schéma de Bernoulli de para- mètres n = 3 et p = 0, 05. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0, 05. On a P(X = 2) = P(SS ¯ S ∩S ¯ SS ∩¯ SSS) car trois chemins permettent d’obtenir deux succès c’est à dire deux objets défectueux. D’où P(X = 2) = P(SS ¯ S) + P(S ¯ SS) + P( ¯ SSS) donc P(X = 2) = 0, 052 × 0, 95 + 0, 05 × 0, 95 × 0, 05 + 0, 95 × 0, 052 = 3 × 0, 052 × 0, 95 = 0, 007 soit une probabilité très faible de 0,007 d’avoir deux produits défectueux. Remarques : • On a P(X < k) = P(X ≤k −1) • pour calculer P(X > k), on calcule 1 −P(X ≤k). Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. Alors : • L’espérance mathématique notée E(X) est égale à E(X) = np ; • la variance notée V (X) est égale à V (X) = np(1 −p) L’espérance mathématique donne le nombre moyen de succès sur un grand nombre de simulations de n essais et la variance mesure l’écart moyen par rapport à l’espérance mathématique. Preuve : Admise Algorithmique : Algorithme de simulation d’une loi binomiale de paramètres n et p. Données : p : nombre décimal entre 0 et 1 ; n : entier naturel ; Début traitement c prend la valeur 0 ; pour k de 1 jusque n faire t prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu ; si t < p alors c prend la valeur de c + 1 ; fin fin Fin Sorties : c http: // mathsfg. net. free. fr 5 Loi binomiale, cours, terminale STMG Exemple : TI : Prompt N Prompt P 0 ▷C For(K,1,N) NbreAleatoire() ▷T If T < P Then C + 1 ▷C End End Disp C Casio : ”P”? →P ”N”? →N 0 →C For 1 →K To N Step 1 Rand#→T If T < P Then C + 1 →C IfEnd Next "C=" :C XCas : saisir("Entrer p : ",p); saisir("Entrer n : ",n); c:=0; pour k de 1 jusque n faire t:=alea(0,1); si t<p alors c:=c+1; fsi; fpour afficher("Nombre de succès : "+c); Python : from random import* p=float(raw_input("Entrer p : ")) n=int(raw_input("Entrer n : ")) c=0 for k in range(1,n+1): t=random() if t<p: c=c+1 print("Nombre de succès",c) http: // mathsfg. net. free. fr 6 Loi binomiale, cours, terminale STMG Algorithmique : Algorithme de simulation d’obtention de N échantillons de lois binomiales de paramètres n et p. Données : n, N : nombres entiers ;p : nombre décimal entre 0 et 1 ; Début traitement s est une liste vide ; pour k de 0 jusque n faire s[k] prend la valeur 0 ; fin pour m de 1 jusque N faire c prend la valeur 0 ; pour k de 1 jusque n faire t prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu ; si t < p alors c prend la valeur de c + 1 ; fin fin s[c] prend la valeur de s[c] + 1 ; fin Afficher s ; Fin Exemple : XCas : saisir("Entrer p : ",p); saisir("Entrer n : ",n); saisir("Entrer N : ",N); s:=[]; pour k de 0 jusque n faire s[k]:=0; fpour; pour m de 1 jusque N faire c:=0; pour k de 1 jusque n faire t:=alea(0,1); si t<p alors c:=c+1; fsi; fpour; s[c]:=s[c]+1; fpour; pour k de 0 jusque n faire afficher("Avec "+k+" succès : "+s[k]); fpour; Python : from random import* p=float(raw_input("Entrer p : ")) n=int(raw_input("Entrer n : ")) N=int(raw_input("Entrer N : ")) s=[] for k in range(0,n+1): s.append(0) for m in range(1,N+1): c=0 for k in range(1,n+1): t=random() if t<p: c=c+1 s[c]=s[c]+1 for k in range(0,n+1): print "Nombre avec "+k+" succès : "+s[k] http: // mathsfg. net. free. fr 7 Loi binomiale, cours, terminale STMG 4 Coefficients binomiaux Propriétés uploads/Industriel/ binomialecours-tstmg.pdf

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