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N. BOURBAKI N. BOURBAKI GROUPES ET ALGEBRES DE LIE Chapitres 7 et 8 Q - Springe

N. BOURBAKI N. BOURBAKI GROUPES ET ALGEBRES DE LIE Chapitres 7 et 8 Q - Springer Réimpression inchangée de l'édition originale de 1975 O Herman, Pais, 1975 O N. Bourbaki, 1981 O Masson, Pais, 1990 O N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 ISBN-10 3-540-33939-6 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-33939-7 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Touie représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quclquc procédé que ce soit, sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Maquette de couverture: design &production, Heidelberg Imprimé sur papier non acide 4113100lYL - 5 4 3 2 1 0 - CHAPITRE VI1 Dans c e chapitre, k désigne u n corps commutatif. Par Q espace vectoriel O, o n entend < ( espace vectoriel sur k a; de m ê m e pour < ( algèbre de Lie R , etc. Toutes les algèbres d e Lie sont supposé& d e dimension$nie. 8 1. Décomposition primaire des représentations linéaires 1. Décomposition d'une famille d'endomorphismes Soient V un espace vectoriel, S un ensemble, et r une application de S dans End(V). Notons P l'ensemble des applications de S dans k. Si A E P, on note Vh(S) (resp. Vh(S)) l'ensemble des v E V tels que, pour tout s G S, on ait r(s)v = A(s)v (resp. (r(s) - A(s))% = O pour n assez grand). Les ensembles Vh(S) et Vh(S) sont des sous-espaces vectoriels de V, et l'on a Vh(S) c Vh(S). On dit que V,(S) est le sous-espace propre de V relatif à A (et à r), que Vh(S) est le sous-espace primaire de V relatif à A (et à Y), que VO(S) est le nilespace de V (relatif à r). On dit que A est un poids de S dans V si Vh(S) # 0. En particulier, quand S est réduit à un seul élément s, P s'identifie à k ; on emploie les notations V,(,,(s) et VA(S)(s), ou V,,,,(r(s)) et VhCs)(r(s)), au lieu des notations Vh((s)), Vh({s}) ; on parle des sous-espaces propres, des sous-espaces primaires, du nilespace de r(s) ; un élément v deVh,,,(s) est appelé un vecteur propre de r(s), et, si v # O, A(s) est appelé la valeurpropre correspondante (cf. A, VII, 5 5). On a aussitôt, pour tout A E P, les relations (1) VX(S) = a V"'" (s), Soit k' une extension de k. L'application canonique de End(V) dans End(V 8, k'), donne par composition avec r, une application r' : S +End(V @ , k') . Dc même, toute application A de S dans k définit canoniquement une application, notée encore A , de S dans k'. Avec ces notations, on a la proposition suivante: 8 SOUS-ALGÈBRES DE CARTAN. ÉLÉMENTS RÉGULIERS Ch. VII, 5 1 Soit (ai) unc hase du k-espace vectoriel k'. Si v E V @ , kt, v se met de manière unique sous la forme 1 vi @ a,, où (vi) est une famille à support fini d'éléments de V. On a, pour tout s E S, (rr(s) - h ( ~ ) ) ~ ( u ) = 2 (r(s) - A(s))~u, @a,. Il s'ensuit que u E (V Bk kf)'(S) u v, E Vh(S) pour tout i, u E (V Bk kf),(S) c . O, E V,(S) pour tout i, ce qui entraîne la proposition. PROPOSITION 2. - Soient V, V', W des espaces riectoriels. Soient r: S -t End(V), r' : S -t End (V') et q: S -t End (W) des applications. (i) Soit f : V - t W une application linéaire telle que q(s) f (v) = f (r(s)v) pour s E S et v E V. Alors, pour tout h E P, f applique VA(S) (resp. V,(S)) dans Wh(S) (resp. WAF) 1. (ii) Soit B: V x V' -t W une application bilinéaire telle que q(s)B(v, v') = B(r(s)v, v') + B(v, r1(s)v') pour s E S, u E V, v' E V'. Alors, pour tous A , p. E P, B applique Vh(S) x VfCL(S) (resp. V,(S) x V;(S)) dans Wh+ CL(S) (resp. Wh + ,(S)). (iii) Soit B: V x V' + W une application bilinéaire telle que q(s)B(v, v') = B(r(s)v, r'(s)vl) pour s E S, u E V, U' E VI. Alors, pour tous A, p E P, B applique Vh(S) x VtU(S) (resp. Vh(S) x VI(S)) dans WhCL(S) (resp. Wh,(S)). Dans le cas (i), on a (q(s) - A ( s ) ) ~ ~ (v) = f ((r(s) - A(s))'v) pour s E S et v E V, et l'on conclut aussitôt. Dans le cas (ii), on a pour s E S, u E V, U' E V', d'où par récurrence sur n On en déduit immédiatement Ics asscrtions de (ii). Dans le cas (iii), on a pour s E S, u E V, ut E V', d'où par récurrence sur n On en déduit immédiatement Ics assertions de (iii). PR~PO~ITION 3. - La somme 2 VX(S) est directe. La somme 1 V,(S) est directe. A E P h s P La seconde assertion est conséquerice de la première; il suffit de prouver celle-ci. Distinguons plusieurs cas. a) S est vide. L'assertion est triviale. b) S est réduit à un élément S. Soient A,, A,, . . . , A, des éléments distincts de k. Pour i = 0, 1, . . ., n, soit v , E Vh~(s) et supposons que v, = v, + . . . + v,. Il s'agit de prouver que v, = O. Pour i = O, . . . , n, il existe un entier q, > O tel que (r(s) - hi)qsui = O. Considérons les polynômes P(X) = n (X - A,)@% et i21 Comme P et Qsont prcmiers entre eux, l'identité de Bezout prouve que v, = O. c) S estJini non cide. Raisonnons par récurrence sur le cardinal de S. Soient s E S et S' = S - {s). Soit (v,),,, une famille à support fini d'éléments de V tels que 2 v, = O ct v, E Vh(S). Soit A, t P. Notons P' l'ensemble des A E P tels que h € P A 1 S' = ho 1 S'. D'après l'hypothèse de récurrence appliquée à Sr, on a 2 v, = 0. hep' Si A, sont des éléments distincts de P', on a h(s) # p(s). Comme la somme 2 Va(s) est directe d'après b), ct quc v, E V ~ ( ~ ) ( S ) , on a U , = O pour tout a t k h E Pl, et en particulier vAo = O, ce qu'il fallait démontrer. d) Cas général. Soit (v,), , une famille à support fini d'éléments de V telle que 2 v, = O et v, E Vh(S). Soit P' l'ensemblc fini des A E P tels que v, # O, et soit A E P S' une partie finie de S telle que les conditions A E Y', p E P', 1 S' = p 1 S' entraînent A = p. On a v, E VAIS'(S') ; appliquant c), on voit que v, = O pour h E Pl, ce qui achève la démonstration. Rappelons que, si x E End(V), on note ad x l'application y H xy - yx = [x, y] de End(V) dans lui-même. Lemme 1. - Soient x, y E End (V) . (i) Supposons V de dimensionjnie. Pour que x soit trigonalisable, il faut et il s u @ que v = 2 va@). a e k ~ - (ii) S'il existe u n entier n tel que (ad ~ ) ~ y = O, chaque Va(x) est stable par y. (iii) Supposons V de dimemionjnie. Si V = 2 Va(x) et si chaque Va(x) est stable a E k par y, il existe u n entier n tel que (ad ~ ) ~ y = O. La partie (i) résulte dc A, VII, 5 5, no 2, prop. 3. Soit E = End(V). Soit B l'application bilinéaire (u, u) K- u(v) de E x V dans V. Par définition de ad x, on a 10 SOUS-ALGÈBRES DE CARTAN. ÉLÉMENTS RÉGULIERS Ch. VIE, § 1 pour x E E, u E E, v E V. Faisons opérer x sur E par ad x. D'après la prop. 2 (ii), on a B(EO(x), Va(x)) c Va(x) pour tout a E k. Si (ad x)"y = O, alors y E EO(x), donc y(Va(x)) c Va(x), ce qui prouve (ii). Pour prouver (iii), on peut remplacer V par Va(x), x (resp. y) par sa restriction à Va(x). Quitte à remplacer x par x - a, on peut donc supposer x nilpotent. Alors (ad x ) uploads/Industriel/ bourbaki-n-elements-de-mathematique-groupes-et-algebres-de-lie-chapitres-7-et-8-springer-2006.pdf