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A. P. M. E. P. Durée de l’épreuve : 2 heures – Coefﬁcient 2 [ BTS Services Info

A. P. M. E. P. Durée de l’épreuve : 2 heures – Coefﬁcient 2 [ BTS Services Informatiques aux Organisations \ Épreuve obligatoire - Polynésie juin 2018 Exercice 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule afﬁrmation est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et l’afﬁrmation exacte. On ne demande pas de justiﬁcation. Une réponse exacte vaut 1 point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée. Question 1 On déﬁnit l’application f : N → © 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ª qui, à un entier n, associe son chiffre des unités en base 10. Afﬁrmation A : l’application f est bijective. Afﬁrmation B : l’application f est injective mais non surjective. Afﬁrmation C : l’application f est surjective mais non injective. Afﬁrmation D : l’application f n’est ni injective ni surjective. Question 2 On considère un graphe orienté de sommets E, F , G, H, dont la matrice d’adjacence est : M =     1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1     Afﬁrmation A : le sommet F a exactement 2 successeurs. Afﬁrmation B : le sommet F a exactement 2 prédécesseurs. Afﬁrmation C : le graphe comprend exactement 11 chemins de longueur 2. Afﬁrmation D : le graphe ne contient aucun circuit. Question 3 Les chiffres en base 16 sont notés : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F . On considère un entier X dont l’écriture en base seize est : X = BC716. Afﬁrmation A : en base dix, l’entier X s’écrit X = 301510. Afﬁrmation B : en base dix, l’entier X s’écrit X = 201810. Afﬁrmation C : en base dix, l’entier X s’écrit X = 1112710. Afﬁrmation D : en base dix, l’entier X s’écrit X = 199510. Question 4 On considère la relation R déﬁnie sur N∗par : « m R n ⇐ ⇒m divise n » . Afﬁrmation A : la relation R est réﬂexive et transitive. Afﬁrmation B : la relation R est symétrique et transitive. Afﬁrmation C : la relation R est réﬂexive et symétrique. Afﬁrmation D : la relation R est une relation d’équivalence. BTS SIO - Polynésie A. P. M. E. P. Exercice 2 11 points Partie A Une société de fabrication et d’installation de ﬁbre optique a besoin de recruter un informaticien, femme ou homme. La direction des ressources humaines considère qu’une candidature est recevable lorsqu’elle satisfait à l’une au moins des conditions suivantes : • le candidat est âgé de 25 ans ou moins et est titulaire du BTS SIO; • le candidat est âgé de 25 ans ou moins, n’est pas titulaire du BTS SIO et possède de l’expérience; • le candidat est âgé de strictement plus de 25 ans et est titulaire du BTS SIO; On déﬁnit les variables booléennes a, b, c de la façon suivante : • a = 1 si le candidat est âgé de strictement plus de 25 ans, a = 0 sinon; • b = 1 si le candidat est titulaire d’un BTS SIO, b = 0 sinon; • c = 1 si le candidat a de l’expérience, c = 0 sinon. 1. Écrire une expression booléenne E traduisant qu’une candidature est recevable, à l’aide des variables booléennes a, b, c. 2. À l’aide d’un tableau de Karnaugh, déterminer une écriture simpliﬁée de E sous la forme d’une somme de deux termes. En déduire une interprétation simpliﬁée des conditions pour qu’une candidature soit recevable. 3. Une candidate a 21 ans, aucune expérience, mais est titulaire du BTS SIO. Remplit-elle les critères de recrutement? 4. Donner une expression simple de E. Partie B La société produit trois types de ﬁbres optiques à partir de silice, forme naturelle du dioxyde de sili- cium (SiO2) qui entre dans la composition de nombreux minéraux. Elle produit : — x pièces du type A, dont le débit supporté vaut 1 gigabit par seconde; — y pièces du type B, dont le débit supporté vaut 10 gigabits par seconde; — z pièces du type C, dont le débit supporté vaut 100 gigabits par seconde. Pour une pièce, la masse de silice utilisée et le temps de production de chacun de ces types de ﬁbres sont récapitulés dans le tableau suivant. Type de ﬁbre A B C Masse de silice en kg (par pièce) 3 4 7 Temps de production en h (par pièce) 2 3 5 La société modélise cette fabrication aﬁn d’envisager différents scénarios sur une période donnée. Pour cette période, on note N le nombre total de pièces produites, S la masse totale en kg de silice utilisée et H le temps total de production exprimé en heure. 1. Justiﬁer le fait que x, y, z vériﬁent le système    x + y + z = N 3x +4y +7z = S 2x +3y +5z = H . 2. On considère les matrices colonnes X =   x y z  et Y =   N S H  . Déterminer la matrice carrée M qui traduit le système ci-dessus par l’équation matricielle M × X = Y . 3. Calculer Y lorsque X =   20 10 30  . Interpréter les résultats obtenus dans le contexte de l’exercice. Épreuve obligatoire 2 juin 2018 BTS SIO - Polynésie A. P. M. E. P. 4. On considère la matrice carrée P =   1 2 −3 1 −3 4 −1 1 −1  . a. Calculer le produit matriciel P × M. b. Montrer que si M × X = Y , alors X = P ×Y . c. Pour une période donnée, l’entreprise dispose de 94 kg de silice et de 67 heures de produc- tion. Elle souhaite fabriquer 21 pièces de ﬁbres. Combien de pièces de chaque type peut-elle fabriquer? Partie C Pour une informaticienne recrutée en janvier 2018, le salaire mensuel initial est de 1500 euros. Pen- dant les dix premières années, son contrat prévoit une augmentation de 3 % du salaire mensuel au début de chaque nouvelle année. On note un le salaire mensuel en euro, lors de la n-ième année de recrutement. Ainsi u1 = 1500. La direction des ressources humaines utilise un tableur aﬁn d’évaluer les salaires mensuels versés chaque année à l’informaticienne (voir ci- contre). 1. Donner la nature de la suite (un). 2. Proposer une formule à saisir dans la cellule B3, permettant par recopie vers le bas de compléter les valeurs de la suite (un). 3. Exprimer un en fonction de n. 4. Calculer u9, en arrondissant au centième. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. A B 1 n u(n) 2 1 1500 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 Épreuve obligatoire 3 juin 2018 BTS SIO - Polynésie A. P. M. E. P. Exercice 3 5 points Une start-up conçoit un petit jeu gratuit pour smartphones. Dans ce jeu, un personnage est généré à chaque début de partie avec un équipement choisi dans une liste de 40 objets, vêtements et acces- soires, qui sont numérotés de 0 à 39. Le concepteur du jeu envisage différents algorithmes pour attribuer automatiquement ces objets à chaque début de partie. Le but de cet exercice est d’étudier certains d’entre eux. 1. Décomposer 40 et 12 en produits de facteurs premiers. 2. Calculer le PGCD de 12 et 40. 3. Le concepteur du jeu envisage d’attribuer les objets à chaque début de partie en parcourant la liste de leurs numéros par des sauts d’amplitude constante a, où a est un nombre entier strictement positif : — lors de la première partie, le personnage se voit attribuer l’objet numéro 0; — pour obtenir le numéro de l’objet à partir de la deuxième partie, on ajoute a au numéro précédent et on calcule le reste de cette somme dans la division euclidienne par 40. Le reste obtenu est alors le numéro attribué à l’objet. Par exemple, en choisissant la valeur a = 12, la liste des numéros des objets dans l’ordre est : 0; 12; 24; 36; 8;... a. Compléter la liste des numéros des objets attribués lors des 11 premières parties, pour une amplitude de saut égale à 12. b. Ce choix d’amplitude permet-il d’utiliser tous les objets au cours des parties successives? 4. On admet le résultat suivant : « Le nombre a choisi permet de former une liste complète comportant tous les numéros de 0 à 39 dans le cas où le PGCD de 40 et de a est égal à 1, et dans ce cas seulement ». Ainsi, les nombres a permettant d’utiliser tous les objets au cours des parties successives sont les entiers a qui sont premiers avec 40. Donner la liste de tous les entiers a compris entre 1 et 39 pour lesquels, au cours des parties successives, tous les objets seront uploads/Industriel/ bts-polynesie-sio-obl-juin-2018.pdf